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1、商空间及其应用刘用麟（武夷学院 数学系，福建 武夷山 354300）摘要：研究了商空间的性质，给出了有关商空间第一、第二同构定理和同态基本定理，作为应用，证明了线性代数中的两个著名维数公式是它们的直接推论.关键词：线性代数,商空间,同构定理,维数公式中图分类号:O151.2MR(2000):15A03QuotientSpacesandApplicationsLIUYonglin（MathematicsDepartmentofWuyiUniversity,Wuyishan,Fujian354300）Abstract:Thispaperinvestigatesthepropertiesofqu
2、otientspacesandobtainsthefirst,secondisomorphismtheoremsandhomomorphismfundamentaltheorem.Astheapplications,weprovethattwofamousdimensionalformulasinlinearalgebrasaretheircorollaries.Keywords：Linearalgebra,quotientspace,isomorphismtheorem,dimensionalformula1.商空间的概念在近世代数，群理论中有商群的概念，环理论中有商环的概念.类似地，在
3、线性空间理论中我们可以有商空间的概念.设W是数域P上线性空间V的子空间，利用W，可在V的向量向定义一个二元关系：～当且仅当－∈W命题1.1～是V的一个同余关系.证明：∈V，有－＝0∈W，所以～；,∈V，若～，则－＝0∈W，于是－（－）∈W，即－∈W，因此～；,,γ∈V，若～且～γ，则－，－γ∈W，于是－γ＝（－）＋（－γ）∈W，这样～γ，因此～是一个等价关系.,,η,ξ∈W，若～，η～ξ，则－，η－ξ∈W，于是（＋η）（＋ξ）＝（－）＋（η－ξ）∈W，于是＋η～＋ξ.因此～是一个同余关系.令＝{x∈V
4、x～}表示向量所在的等价类，容易证明＝＋W＝{＋
5、∈W}.这些等价类我们可称为子空向W的
6、陪售，由于线性空间中的向量关于加法满足交换律，故不必区分左、右陪集.下面考虑商集V∕W＝｛｜∈V｝，在V∕W中定义两个运算，，∈V∕W，∈P：＋＝，＝.由命题1.1，容易证明这两个运算均是良好定义的.根据线性空间的定义，容易验证V∕W关于这两个运算构成数域P上的一个线性空间.定义1.2如上定义的线性空间称为V关于W的商线性空间，简称商空间.命题1.3设V是维线性空间，W是它的维子空间，则商空间V∕W的维为－.------------------------------------------------基金项目：福建省自然科学基金资助项目(2006J0394)作者简介：刘用麟，男，教授，博
7、士，研究方向：逻辑代数、计算智能的数学基础电话：13850909615，E-mail:ylliun@tom.com4证明：设，…，是W的基，将它扩充成V的一个基：，…，，，…，，下证，…，是V∕W的一个基.设＋…＋，则，于是∈W，这样可设＝,即.由于，…，线性无关，可得，即，…，线性无关.∈V∕W，设，则∈W.于是.因此我们证明了dim（V∕W）＝－.2.同构定理定义2.1设V与V’是数域P上两个线性空间，f：V→V’是一个映射，若满足：（1），∈V，有f（＋）＝f（）＋f（），（2）∈P，∈V，有f（）＝f（）.则称f是线性空间V到V’的一个同态映射.命题2.2设f是线性空间V到V’的同
8、态映射，则（1）f（0）＝0，（2）f（－）＝－f（），（3）f（）＝.证明：易证.命题2.3设f是线性空间V到V’的同态映射，W是V的子空间，则f（W）＝{f（）
9、∈W}是V’的子空间.特别地，Imf＝f（V）是V’的子空间，称为f的像.证明：根据子空间判定方法易证.命题2.4设f是线性空间V到V’的同态映射，W’是V’的子空间，则f-1（W’）＝{∈V
10、f（）∈W’}是V的子空间.特别地，kerf＝{∈V
11、f（）＝0}是V的子空间，称为f的核.证明：根据子空间判定方法易证.定理2.5（第一同构定理）设f是线性空间V到V’的满同态，W’是V’的子空间，则V∕f-1（W’）≌V’∕W’.证
12、明：令：V∕f-1（W’）→V’∕W’，这里＋f-1（W’）→f（）＋W’.按通常的代数方法，可证是一个同构映射.推论2.6（同态基本定理）设V是一个线性空间，则V的任一商空间都是V的同态象.反之，若V’＝f（V）是V的同态象，则V’≌V∕kerf.证明：前半部分只需验证映射：→是一个满同态，后半部分是第一同构定理的直接推论.定理2.7（第二同构定理）设W1、W2是线性空间V的两个子空间，则（W1＋W2）∕W2≌W1∕（
