从「生活化」到「数学化」数学教育的设想

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1、從「生活化」到「數學化」數學教育的設想香港中文大學「小學生在中﹑英﹑數三科學習動機與模式」發展與研究計劃數學組計劃之首席研究員為香港中文大學課程與教學學系系主任黃顯華教授﹐研究助理為朱嘉穎女士﹐數學組組員包括香港中文大學課程與教學學系黃毅英教授﹑台灣嘉義師範大學應用數學系梁淑坤教授及香港中文大學學校與夥伴協作中心劉應泉先生﹑世界龍岡黃耀南小學的林靜儀老師﹑梁芝蘭老師﹑葉雅文老師以及香港中文大學校友會聯會張宣昌學校冼秀容老師和李慧苑老師。本計劃得教育署資助，謹此鳴謝。目錄:前言一個數學課的實例快而準﹖參考書目前

2、言近年提出數學教學生活化的呼聲不絕於耳﹐「目標為本課程」便已提出「課業」及「現實情景」的教學。但將生活情景加進(甚至有人用「稀釋」這個字眼)數學是否為學習加入了人為障礙﹐有論者已陸續提出(黃家鳴﹐1997﹐1998﹐2001﹔Wong﹐1997)。中文大學課程與教學學系於1999年2月19日便曾舉辦一個「數學教育之生活化與數學化」研討會﹐研究其中的矛盾與整合。其實這個「生活化─數學化」﹑甚至「數學內容及技巧訓練─學習過程」的(表面)矛盾由來已久。Howson與Wilson(1986)便對「過程為基課程」(pr

3、ocess-basedcurriculum)提出質疑。有名的Cockcroft(1982)報告書亦提出數學教育不應只提出一些如問題解決等非數學獨有之目的。事實上﹐這個問題早在60年代新數學的討論中已進行過激辯。最近其中一位組員(黃毅英)與公開大學黃家樂先生檢視了60年代新數學在香港的推行情況。發現這個數學本質和數學教育本質問題至今仍未得到正視(黃毅英、黃家樂﹐待刊)。不少人均承認數學是具有嚴密邏輯性的知識體系。在加洲數學戰爭和近來內地數學課程的討論﹐似乎都給出一個印象﹐就是數學家頗為強調數學之嚴謹性與抽象性。

4、然而不少前線老師及數學教育工作者(包括教育心理學家和數學教育學家)都看到普及教育所面對的是所有學童。一方面﹐並不是所有接受數學教育的學生將來的職業均與數學有關(更遑論要成為數學家了)﹔另一方面﹐普及教育所帶來的其中一個核心問題是學習動機﹐我們必須透過種種發生在學生身邊和日常生活中的事物去誘發學生的學習興趣(黃毅英﹐1995)。於是乎不少教育工作者就提出種種方法﹐如實驗﹑遊戲﹑6探討日常生活的應用題等﹐既要提高興趣﹐亦藉此培養學生之問題解決等能力。然而﹐一些數學工作者又會指出這些只是形同「兒戲」﹐並非「正規」的

5、數學。梁鑑添(見莫雅慈﹐1995:頁224)更指出「今天主流數學課程有一點是未能做到的﹐那時沒有介紹數學的實質」。舉一個大家熟識的例子﹕用圓錐體容器倒水三次入同底同高的圓柱體容器﹐這個事實是否「證明」了圓柱體體積為圓錐體體積的三倍呢﹖我們若把它作為一個話題的引子﹐或藉此引起學習動機﹐恐怕未嘗不可(例如﹕何以這麼巧等於三倍呢﹖讓我們細心加以察看…)﹐否則就是用鬆散的論述偽裝了嚴格的證明。如何從實物和身邊事物慢慢抽象化而理出相關的數學對象(mathematicalobject)﹐又如何再用數學的方法得出結論﹖這些

6、問題才是我們應該深入探討的﹐由興趣動機到正規數學的「數學化」(mathematisation)之路還是要小心摸索的(Freudenthal,1991﹔黃家鳴﹐2001)﹐而這個數學化的進程可能各人不同。個別差異的探究正是本研究小組的其中一項任務。雖然不是人人都要做數學家或投身與數學有關的行列﹐然而一些如「解難(問題解決)﹑創新﹑分析﹑自學等能力之建立﹐並且包括排序﹑類比﹑規律尋找﹑掌握關鍵﹑御繁於簡等數學思維方式」(黃毅英﹐1995:頁71)﹐縱使不是在日常生活中得到直接的應用﹐卻對每個未來社會的公民都會產生

7、作用﹐恐怕這才是「大眾數學」的本意。所以﹐學生縱使將來進入各行各業﹐有些與數學的關係較大﹐一些較小﹐這也算是一種個別差異﹕是指向未來的手﹐但這些內在的基本能力(所謂基本功﹐basics)之培養正是各行各業的基石﹐亦應是各人學習動機之所在(黃毅英﹐1995﹔MathCounts)。而學習動機又是概念小組探索的另一個重大課題。蕭文強(1978)在《為甚麼要學習數學》便提出數學既是源於生產實踐﹐但亦是由具體到抽象﹑由歸納到演繹的過程。這是他從數學發展史中得到的啟示﹐而個體的數學學習又與人類歷史發展歷程相類似(Siu

8、&Siu,1979)﹐這恐怕就是給數學教學的一點啟示(見黃毅英、黃家樂﹐待刊；黃毅英﹐2001)。透過遊戲學習數學便是由「鬆散」的經驗獲得到實質的數學之一例。Bell(1978)便曾提出不要讓「遊戲」蓋過「數學」﹐田尼氏(Dienes,1981)更清楚地把數學遊戲分成自由玩耍﹑有規律遊戲﹑尋找共同結構﹑描述或圖示﹑符號化及形式化等六個階段(詳見黃毅英﹐1993)。這樣便能讓學生從遊戲中找到一些規律﹑