数学好玩——立体几何中好玩的数学问题

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1、数学好玩一一立体几何中好玩的数学问题马小强（广东外语外贸大学大朗校区附设外语学校广东广州510450）2002年国际数学家大会在北京召开，一代数学大师陈省身为中国少年数学论坛题词：数学好玩。作为数学老师，引导学生体会到数学好玩是我一直思索的问题。如何将好玩的数学引入课堂成为我平时教学的一种尝试。木学期参与学校文化专题课的教学工作。面对高一的学生，就一直在思索：如何把数学好玩的问题引入高中课堂，如何让高中学生体味到数学好玩。考虑到高一学生正在学习必修2立体几何部分的内容，于是设计了以下教学专题。课题：

2、立体几何中好玩的数学问题问题1三根火柴可以拼成一个正三角形，六根火柴可以拼成几个正三角形？显然，用六根火柴拼成一个正四面体（三棱锥），它的三个侧面和一个底面会构成四个正三角形。这道题目的设计意图是为了帮助只备初中平面几何知识的学牛.把思路由平面拓广到空间。思路由平面到空间的提升，正是立体几何的精髓，也是新课标的基木要求。木题的好玩之处就是思考范围由平面到空间的拓广。认知在深入，思路在拓广。问题2正方体的最短路程长、宽、高分别是4、2、1米的长方体。现有一小虫从顶点A岀发沿长方体表面爬到对角顶点，问小

3、虫爬行最短路程是多少？我们把这两点所在的两个面展开，置于一个平面内，根据展开面不同分三种情况讨论，然后取三种情况的最小值。这个问题揭示了解决立体几何问题的基本思路：把空间问题为平面问题。《高中数学新课程标准》指出：注重提高高中学生数学思维能力，这是数学教育的基本0标之一。人们在学AI数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，奋助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进

4、行思考和做出判断。数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。以上两个问题是在帮助学生建立空间想象能力，揭示立体几何问题的一般解决思路。而这些正是促成学生数学思维能力形成并提高的有效过程。思考范围从平面上升到空间，解决问题是由空间冋归平面。这一个上升，一个冋归正是立体几何的精髓，也是立体几何的好玩之处。问题3正方体的截面问题用一个平面去截一个正方体，所得到的截面可能是什么形状？（学生采取分组讨论、合作交流的形式。鼓励学生积极发言，冋答问题。）学生大胆猜想、积极在小组内讨论、积极回答问题，得出用一个

5、平面去截一个正方体所得截面有可能的形状：三角形、正方形、长方形……这是我提出问题：若将所得的各种截面形状以边数来分类，则可分为哪几类？学生讨论之后得到如下结论：将所得各种截面形状归类可得：三角形、四边形、五边形、六边形。这是我再次提出问题：截面形状可能为七边形吗？有学生冋答：不可能，因为正方体只有六个表面，所以截面与正方体的表面最多只有六条交线，因此所得多边形至多是六边形。继续提出问题：如何去截正方体，能得到以上各类多边形？有否特殊形状？如何截？以上结论各小组讨论后能否给出证明？思考三角形形状有可能

6、是钝角或直角三角形吗？四边形可能为一般平行四边形或直角梯形吗？五边形……（学生小组讨论，气氛热烈。在教师的指导下，解决了一些比较简单的问题）这吋一位学生提出：只需要做一个正方体容器，向正方体容器中注入水，不断变换正方体的放置位置，同吋观察水面的形状，就可以知道所右的截面形状。多么好的创意啊！我全班表扬了这位学生，同吋希望他能做好这样的正方体容器，下一节课展示他的成果。学以致用并iL动手可以学习数学，这就是数学的好玩之处。由于我们接触立体几何的时间较短，所学知识还相当冇限，因此冇些问题暂吋还无法解决。

7、不过，相信随着我们以后立体几何学习的逐步深入，冋学们一定可以将遗留的问题一个一个的解决。前面老师提出了这么多与正方体截面有关的问题，下面请同学们自由发挥，提出更多与正方体截面冇关的问题或者类比截面问题设计一些与截正方体有关的问题。小组讨论，思考。有小组提出问题：最大面积的截面三角形是怎样的？最大面积的截面四边形是怎样的？五边形、六边形冇最人截面吗？如何求出它们的面积？最大面积的截面是什么形状的？还有小组提出问题：用一个平面截正方体，可以截得多少条棱?多少个角？也有小组提出问题：用一个平面截正方体，所

8、得两部分几何体是什么形状的？体积如何求？以下是学生们课后完成的正方体截面图示。立体几何这个内容对于学生而言是一个全新的内容，需要学生具冇一定的空间想象能力和逻辑推理能力。刚接触这样一个内容，一方面学生会有一种新奇感从而产生一定的探索欲望；另一方面学生一旦遭遇挫折，容易产生畏难情绪。如果我们能根据教学进程，适吋安插一些拓展内容，则可以提高学生学：＞」的兴趣,同吋更好的激发学生的探索精神。在这节课中，通过让学生思考、讨论、交流，可以培养学生自主探究、合作交流和分析解决问题