圆柱、棱柱的体积

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1、§2．8　棱柱、圆柱的体积一、素质教育目标（一）知识教学点1．体积的概念与公理5、公理6．2．棱柱、圆柱的体积公式．（二）能力训练点1．理解并掌握公理5及其推论1、2和公理6．2．理解并掌握棱柱、圆柱的体积公式并会应用它求棱柱、圆柱的组合体的体积．（三）德育渗透点1．使学生认识求棱柱、圆柱的体积是人类生产实践的需要，进一步培养学生实践第一的观点．2．通过公理6（祖暅原理）把棱柱、圆柱的体积问题转化成可求体积的等积体——长方体的体积问题，使学生懂得一般与特殊间关系及化归的解题意识．3．通过祖暅原理的提出比国外早1200年的事实，激发学生的爱国热情．二、教学重点、难点和疑点1．教学重点：公理5、

2、6，棱柱、圆柱的体积公式及其应用．2．教学难点：对公理6的理解及利用公理6、5推出棱柱、圆柱的体积公式．3．教学疑点：把棱柱、圆柱的体积转化成等积的长方体，这个长方体的存在性．三、课时安排1课时．四、教与学过程设计（一）体积的概念师：在生产建设和科学实验中，经常会遇到关于物体体积的问题，这些问题与各种几何体的体积有关，那么什么叫做几何体的体积？生：几何体占有空间部分的大小叫做它的体积．师：同度量长度、面积一样，要度量一个几何体的体积，首先要选取一个单位体积作为标准，然后求出几何体的体积是单位体积的多少倍，这个倍数就是这个几何体的体积的数值．通常取棱长等于单位长度（例如1cm、1m等）的正方体

3、的体积作为体积单位．作为推算体积的基础，我们把下面的两个事实当作公理．（二）两个公理公理5长方体的体积等于它的长、宽、高的积V长方体=abc推论1长方体的体积等于它的底面积S和高h的积．V长方体=Sh推论2正方体的体积等于它的棱长a的立方．V正方体=a3公理6　夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．图2-48表示，夹在平行平面α、β之间的两个形状不同的几何体，被平行于平面α、β的任意一个平面所截，如果截面P和Q的面积总相等，那么它们的体积一定相等．师：公理6的条件有三个：（1）这两个几何体夹在两个平行平面

4、之间；（2）两个几何体被平行于这两个平面的任意平面所截；（3）两个截面的面积总相等．三个条件缺一不可，否则不能得出两个几何体的体积相等．师：我国古代数学家祖暅，早在公元五世纪，就在实践的基础上，总结出这个公理，并首先用这个公理证明了球的体积公式，因而我们把公理6也叫做祖暅原理．祖暅比外国人早十二世纪提出这个事实．在古代我国数学家对世界数学发展的贡献也是很大的．（三）棱柱、圆柱的体积师：下面我们用以上两个公理来求棱柱和圆柱的体积．师问：棱柱、圆柱的截面有什么性质？生：平行于底面的截面与底面相等．师：设棱柱与圆柱的底面积都为S、高都为h，根据祖暅原理，那么它们的体积相等，但等于多少呢？为此还必须

5、引进一个底面积为S、高为h的长方体，而这样的长方体、棱柱、圆柱的体积都相等．由公理5的推论1和V长方体=Sh，于是得到下面的定理：定理　柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的积．V柱体=Sh推论　底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=πr2h（四）例题例1有一堆相同规格的六角螺帽毛坯（图2-50）共重5.8kg，已知底面六边形的边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm．问约有毛坯多少个（铁的比重是7.8g/cm3）分析：要先求出一个螺丝帽的体积，而一个螺丝帽的体积等于一个正六棱柱与一个圆柱体积之差．象这样，由若干个简单体组合而成的几何体，叫做组合体．求组合体积的关键是掌

6、握简单体的体积公式．这是一个实际题，是属于近似计算的，由于所给的数据都具有两位有效数字，因此运算过程中都取三位有效数字，结果取二位有效数字．例2　三棱柱的底面是△ABC，AB=13cm，BC=15cm，CA=12cm，侧棱AA′的长是20cm，如果侧AA′与底面所成的角是60°，求这个三棱柱的体积．分析：求三棱柱的体积先要求棱柱的底面积和高．解：设A′在平面ABC上的射影为H，则A′H是棱柱的高，∠A′AH=60°（图2-51）．（五）课堂练习1．用棱长为1的正方体的体积作为体积单位．图2-47中长方体体积为24，假如将体积单位改用棱长为2的正方体的体积，这个长方体的体积为多少？为什么？解：

7、这个长方体的体积为3．因为新体积单位的体积是原来的8倍，2．一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，比较它们的体积哪个大？大多少？（六）总结这节课我们学习了公理5、6及公理5的两个推论，学习了棱柱、圆柱的体积公式及这些公式的简单的应用．五、作业P．98中2、3、4、7、8、11．六、板书设计2．8棱柱、圆柱的体积一、体积的概念及体积的度量二、公理5V长方体=abc推论1V长方体=Sh推论2V正方体=a3公理