分式方程(组)

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1、分式方程(组)　　第三十四讲分式方程（组）　　本讲我们将介绍分式方程(组)的解法及其应用．　　【知识拓展】　　分母里含有未知数的方程叫做分式方程．解分式方程组的基本思想是：化为整式方程．通常有两种做法：一是去分母；二是换元．　　解分式方程一定要验根．　　　解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分．常见的思路有：取倒数法方程迭加法，换元法等．　　列分式方程解应用题，关键是找到相等关系列出方程．如果方程中含有字母表示的已知数，需根据题竞变换条件，实现转化．设未知数而不求解是常见的技巧之一．　　例题求解　　一、分式方程(

2、组)的解法举例　　　1．拆项重组解分式方程　　【例1】解方程．　　解析直接去分母太繁琐，左右两边分别通分仍有很复杂的分子．考虑将每一项分拆：如，这样可降低计算难度．经检验为原方程的解．　　注本题中用到两个技巧：一是将分式拆成整式加另一个分式；二是交换了项，避免通分后分子出现x．这样大大降低了运算量．本讲趣题引路中的问题也属于这种思路．　　2．用换元法解分式方程　　【例2】解方程．　　解析若考虑去分母，运算量过大；分拆也不行，但各分母都是二次三项式，试一试换元法．　　解令x2+2x—8=y，原方程可化为　　解这个关于

3、y的分式方程得y=9x或y=－5x．　　故当y=9x时，x2+2x—8=9x，解得x1=8，x2=—1．　　当y=－5x时，x2+2x—8=－5x，解得x3=—8，x4=1．　　经检验，上述四解均为原方程的解．　　　注当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时，可通过换元将之简化．　　3．形如结构的分式方程的解法　　　形如的分式方程的解是：，．　　【例3】解方程．　　解析方程左边两项的乘积为1，可考虑化为上述类型的问题求解．　　　，均为原方程的解．　　4．运用整体代换解分式方程组　　【例4】解方程组．　　解析若用常

4、规思路设法消元，难度极大．注意到每一方程左边分子均为单项式，为什么不试一试倒过来考虑呢?　　　解显然x=y=z=0是该方程组的一组解．　　　若x、y、z均不为0，取倒数相加得x=y=z=　　　故原方程组的解为x=y=z=0和x=y=z=．　　二、含字母系数分式方程根的讨论　　【例5】解关于x的方程．　　　解析去分母化简为含字母系数的一次方程，须分类讨论．　　讨论：（1）当a2－1≠0时　　①当a≠0时，原方程解为x=；　　　②当a=0时，此时是增根．　　　(2)当a2－1＝0时即a=，此时方程的解为x≠的任意数；　

5、　　综上，当a≠±1且a≠0时，原方程解为x=；当a=0时，原方程无解，；当a=时，原方程的解为x≠的任意数．　　三、列分式方程解应用题　　【例6】某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯行驶，两人也走梯)．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部．　　（1）扶梯露在外面的部分有多少级?　　(2)现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的

6、级数相等，两个孩子各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼(不考虑扶梯与楼梯间的距离)．求男孩第一次迫上女孩时走了多少级台阶?　　　解析题中有两个等量关系，男孩走27级的时间等于扶梯走了S－27级的时间；女孩走18级的时间等于扶梯走S—18级的时间．　　　解(1)设女孩上梯速度为x级／分，自动扶梯的速度为y级／分，扶梯露在外面的部分有S级，则男孩上梯的速度为2x级／分，且有　　解得S=54．　　　所以扶梯露在外面的部分有54级．　　(2)设男孩第一次追上女孩时走过自动扶梯rn遍，走过楼梯n遍，则

7、女孩走过自动扶梯(m—1)遍、走过楼梯(n—1)遍．　　由于两人所走的时间相等，所以有．　　由(1)中可求得y=2x,代人上面方程化简得6n+m=16．　　无论男孩第一次追上女孩是在自动扶梯还是在下楼时，m、n中都一定有一个是正整数，且0≤m—n≤1．　　试验知只有m=3，n=符合要求．　　所以男孩第一次追上女孩时走的级数为3×27+×54=198(级)．　　注本题求解时设的未知数x、y，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题．　　【例7】(江苏省初中数学竞赛C卷)编号为1到25的25

8、个弹珠被分放在两个篮子A和B中．15号弹珠在篮子A中，把这个弹珠从篮子A移至篮子B中，这时篮子A中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加，篮子B中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加．问原来在篮子A中有多少个弹珠?　　解析本题涉及A中原有弹珠，A、B中号码数的平均数，故引入三个未知数．　　解设原来篮子A中有弹珠x个，则篮子B中有弹珠(25－x)个．又记原来A中弹珠