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时间:2018-10-08
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1、等号与不等号的来历一、等号,不等号 为了表示等量关系,用“=”表示“相等”,这是大家最熟悉的一个符号了. 说来话长,在15、16世纪的数学书中,还用单词代表两个量的相等关系.例如在当时一些公式里,常常写着aequ或aequaliter这种单词,其含义是“相等”的意思. 1557年,英国数学家列科尔德,在其论文《智慧的磨刀石》中说:“为了避免枯燥地重复isaequalleto(等于)这个单词,我认真地比较了许多的图形和记号,觉得世界上再也没有比两条平行而又等长的线段,意义更相同了.” 于是,列科尔德有创见性地用两条平行且相等的线段“=”表示“相等”
2、,“=”叫做等号. 用“=”替换了单词表示相等是数学上的一个进步.由于受当时历史条件的限制,列科尔德发明的等号,并没有马上为大家所采用. 历史上也有人用其它符号表示过相等.例如数学家笛卡儿在1637年出版的《几何学》一书中,曾用“∞”表示过“相等”. 直到17世纪,德国的数学家莱布尼兹,在各种场合下大力倡导使用“=”,由于他在数学界颇负盛名,等号渐渐被世人所公认. 顺便提一下,“≠”是表示“不相等”关系的符号,叫做不等号.“≠”和“=”的意义相反,在数学里也是经常用到的,例如a+1≠a+5. 二、大于号,小于号 现实世界中的同类量,如长度与长
3、度,时间与时间之间,有相等关系,也有不等关系.我们知道,相等关系可以用“=”表示,不等关系用什么符号来表示呢? 为了寻求一套表示“大于”或“小于”的符号,数学家们绞尽了脑汁. 1629年,法国数学家日腊尔,在他的《代数教程》中,用象征的符号“ff”表示“大于”,用符号“§”表示“小于”.例如,A大于B记作:“AffB”,A小于B记作“A§B”. 1631年,英国数学家哈里奥特,首先创用符号“>”表示“大于”,“<”表示“小于”,这就是现在通用的大于号和小于号.例如5>3,-2<0,a>b,m<n. 与哈里奥特同时代的数学家们也创造了一些表示大小关
4、系的符号.例如,1631年,数学家奥乌列德曾采用“”代表“大于”;用“”代表“小于”. 1634年,法国数学家厄里贡在他写的《数学教程》里,引用了很不简便的符号,表示不等关系,例如: a>b用符号“a3
5、2b”表示; b<a用符号“b2
6、3a”表示. 因为这些不等号书写起来十分繁琐,很快就被淘汰了.只有哈里奥特创用的“> 有的数学著作里也用符号“”表示“远大于”,其含义是表示“一个量比另一个量要大得多”;用符号“”表示“远小于”,其含义是表示“一个量比另一个量要小得多”.例如,ab,cd. 灵活地运用>、<、、
7、这些符号,可使某些问题的推理过程变得简单明了. 三、大于或等于号,小于或等于号 人们在表达不等量关系时,常把等式作为不等式的特殊情况来处理.在许多场合下,要用到一个数(或量)大于或等于另一个数(或量)的情况,可以把“>”,“=”这两个符号有机地结合起来,得到符号“≥”,读作“大于或等于”,有时也称为“不小于”.同样,把符号“≤”读作“小于或等于”,有时也称为“不大于”.例如,某天最低气温-5℃,最高气温12℃.换句话说,这一天的气温不低于-5℃,不高于12℃.如果用t代表某天的气温,上面的关系可表示为:-5℃≤t≤12℃. 表面看来,两个符号≥和>
8、好像差不多,其实是有区别的. 那么,怎样理解符号“≥”的含义呢? 有人认为,如果一个函数f(x)≥a,就断言f(x)的最小值一定等于a. 这种看法是片面的. 例如设f(x)=x2+1,因为x2和1都是非负的,所以它们之和也是非负的,即x2+1≥0.但不能说x2+1的最小值是0. 其实,f(x)=x2+1的最小值是1. 为什么会产生这样的错误呢?主要是对“≥”这个符号的含义认识不清.“≥”的意思是“>”或者“=”,即两者必居其一,不要求同时满足.比如给出了两个函数f(x),D(x),它们的定义域相同,如果知道不论对定义域中的那个值x0,f(x0
9、)或者大于D(x0)或者等于D(x0),而绝不会小于D(x0),根据这种判断,自然可以写出f(x)≥D(x).但这里并没有说,一定有使f(x)=D(x)的一个点x0.上面所举的例子f(x)=x2+1≥0,正是属于这样情况. a≥b表示a>b或者a=b,这两种情况都有可能出现,但不要求同时存在. 同样,“≤”也有类似的情况. 因此,有人把形如a>b,b<a这样的不等式叫做严格的不等式,把形如a≥b,b≤a这样的不等式叫做不严格的不等式. 现代数学中又用符号“≮”表示“不小于”,用“≯”表示“不大于”.有了这些符号,在表示不等量关系时,就非常得心应手
10、了.
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