8、/(r)eC[O，l],必有/•(/)三0,所以A无特征值。证毕。2.®X=C[0,2^],(Ax)(Z)=eifx(t)9xEX.,证明cr(A)=｛；l
9、
10、2
11、=l｝。证明对任意/°，(/°/-?l)x(r)=(/n-e")x(O。因为常值函数1不在，/一A的值域中，因此一ecr(A)。这样｛A
12、
13、/1
14、=1｝c(t(A)。反之，若
15、A
16、*1,定义/^(/^)(/)=丁1了％(0。类似第1题可证是有界线性算A—c子，且—=—A)*=/。即；lect(A)。因此cr(A)=｛A
17、
18、/l
19、=l｝。证毕。3.设X=Z2,Ax=A(w"
20、x,,，•••)=Cx2，x3，…〜•••)，试求(7(A)。解对任意Z，若
21、A
22、<1，定义xA=(1，人…，/!"，•••)，显然因此｛A
23、
24、A
25、=1｝的内点都是A的点谱，由于er(A)是闭集，则｛又
26、
27、乂
28、=1｝<=<7(4)。对任意xeA,显然
29、
30、Ar
31、
32、H因此
33、
34、A
35、
36、<1,所以ct(A)c｛乂
37、
38、乂
39、<
40、卜
41、
42、｝c｛乂
43、
44、乂
45、=1｝。这样我们就证明了(7(A)=｛乂
46、
47、2
48、=1｝。4.设F是平面上无限有界闭集，｛(ZJ是F的一稠密子集，在/2中定义算子T:则乂都是特征值，<7(r)=F,F｛an｝屮每个点是T的连续谱。证
49、明对任意n，a=(0,0,…，1，()，•••)，其屮1在第n个坐标上。由题设，Ten=anen,因此&是T的特征值。又由于c(r)是闭集，所以若义芒尸，则6/(人尸)〉0。定义算子/^，若x=(w..x„易验证因此(r(r)cF。且尸)=(；1/—r)/?;=/。若AgF-｛an｝f且又二^^么…人，…)^/2,使Fx=Ax。则对任意n,Zxn=anxn0由于义矣汉。，则'=0,/1=1，2,…。这样x=0,因此A不是特征值，而是连续谱。证毕。5.设/I为线性算子的特征值，则A的n次根中至少有一个是算子A的特征值。证明设义是An的
50、特征值，又的n次根为斗，A，…，人。存在x*0，使(A"—A/)x=0，则(A”一Al)x=(A—/^/)(A—A,/)•••(A—A"/)x=00^(A-/i1/)x=0,则冬就是A的特征值，否则必有某i，而(A-/)(A-A,./)…(A->V)x=0，则為+1是人的特征值。证毕。6.设A为Banach空间X上的有界线性算子，人ep(A),又设{AJ力X上一列有界线性算子，且,1,1^
51、
52、4->1
53、卜0,证明当n充分大后，人也以汍为正则点。证明^i-An=A[)J-A-(An-A)=(A{}I-A)[I-(A{)I-ArAtt
54、-A)].当n充分大时，
55、(v-^)',(Al-^)
56、
57、58、A
59、〉
60、
61、A
62、
63、时，oora=(a-Aiy[=Yz/=0，INIW-hll证明当
64、2
65、〉
66、
67、A
68、
69、时幂级数士玄收敛，因此级数艺必按算子范数收敛.z/=0/t，，=n又”=0乂ooAtlooAtfooAtfooAZl+l(又/-=jj—-(A/-A)==l"=()A"=()八"=()八"=0八这就证明了w-zi/r
70、1=n=0证毕。8.设A为X上的有界线性算子，人/ze/XA)，则RA-Ra=(A-义)尺爲。其中与/^，久的意义同第7题。证明在等式/?/-/?/=(///-A)-(A/-A)两边左乘&右乘/?;/得R灿-M=A(("，—A—⑻—H因此&—/?A=(/z—证毕9.设A是Hilbert空间H上的有界线性算子，A*为A的共轭算子，证明(7(/4*)={A
71、/Ig<7(A)}=(7(A)证明先证若T是Hilbert空间H上的有界线性算子，若T可逆，则T*也可逆，且事实上，对任意X，)，e//，==72、])*7*夕〉。这样
