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1、第二章方阵的行列式习题课2.1n阶行列式的定义2.2方阵行列式的性质2.3展开定理与行列式的计算要求：正确领会n阶行列式的定义熟记行列式的性质，并会正确使用行列式的有关性质化简、计算行列式灵活掌握行列式按行(列)展开法则掌握Laplace定理一.主要内容1.n阶行列式的定义(1)n阶行列式是n！项的代数和.(2)n阶行列式的每一项都是取自n阶行列式的不同行和不同列的n个元素的乘积，称为均匀分布项.如果行标按标准顺序排列，列标记为,一般项记为(3)n阶行列式的每一项的符号由列标排列的奇偶性决定:若列标排列为奇排列,则此项的符号为负,若列标排
2、列为偶排列,则此项的符号为正.即符号可表示为且正项和负项各占一半.(4)由于n级排列共有n!个,所以n阶行列式共有n！项.(5)一般的，n阶行列式是一个数.2.行列式的性质●行列式与它的转置行列式相等.●互换行列式的两行(列)，行列式变号.●某行(列)有公因子可以提到行列式的外面.●某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不变.●若行列式中某一行(列)的所有元素均为两元素之和.则该行列式可拆成两个行列式的和.●某两行(列)的对应元素成比例，则行列式等于0.●某两行(列)的元素全为0，则行列式等于0.3.行列式按行(列)展开定理及其推论4.
3、Laplace定理定义设D是一个n阶行列式，在D中取某K行(或列),则含于此k阶行(或列)中的所以k阶子式与其代数余子式的乘积之和恰好等于D.即是D的被选定的k行(或列)所含的K阶子式,其中分别是它们的代数余子式.二.几个重要的公式3.设A是m阶方阵，B是n阶方阵，则3.设A是m阶方阵，B是n阶方阵，则4.设A,B为n阶方阵,注意两行列式相加与两矩阵相加的不同两行列式相等与两矩阵相等的不同数乘行列式与数乘矩阵的不同三.行列式的计算方法●定义法：●化三角形行列式法:●降阶法:●升阶法（加边法）●拆项法●递推法:●数学归纳法●范德蒙行列式法直
4、接利用行列式的定义计算利用行列式的性质化为上三角形行列式的计算利用按行(列)展开定理,化行列式为较低阶行列式的计算利用行列式的性质,把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式的线性关系,再根据此关系递推求所给n阶行列式的值1.写出5阶行列式中含有且带负号的所有项.解按行列式的定义,5阶行列式中含有的项的一般式为是3个数1,2,4的全排列,共3!个,故能组成6个5级排列,为35124,35142,35214,35241,35412,35421其中35132,35214,35421为偶排列,35124,35241,35412为奇排列,故
5、包含且带负号的所有项为2.求多项式中的系数和常数项.解因为f(x)是4次多项式,含x4的项只有一项含的项有两项,为故的系数为2.而常数项为3.设排列的逆序数为m,且中小于的有s个,求排列的逆序数.解在n级排列中，比小的数共有个.设排列中右边比小的数有个,则该排列中左边比小的数有个.(1)先求排列的逆序数.该排列中在右边比小的数有个(i=1,2,---,n).于是(2)求排列的逆序数.在排列中将排到第一位,由于中小于的有s个,故当把排到第一位时,增加了s个逆序,减少了n-1-s个逆序,故4.计算解它是行和相等的行列式.计算方法通常为把各列(
6、行)都加到第一列(行),然后提出第一列(行)的公因子,之后利用行列式性质化为三角形行列式.各列加到第一列后行减前行按第一列展开行和相等行列式各列加到第一列第一列加到各列5.计算解此行列式称为箭形行列式或爪形行列式.计算方法一般是把第i列的倍加到第一列得到三角形行列式.当时,显然D=0.当时,有6.计算解各行减第一行箭形行列式7.计算解此行列式称为三对角行列式.计算方法一般采用按行(列)展开,得到递推公式,然后由递推公式推出结果.(1)(2)(n-1)又8.计算解采用加边法计算D.9.计算行列式解作辅助函数将上式按最后一列展开，则f(x)为
7、x的一个4次多项式，且x的3次幂的系数为－D,于是可以通过考察多项式f(x)来求D.从上式易知，多项式f(x)的三次幂项系数为故10.计算解按第一列展开11.计算4阶行列式解采用拆项法计算12.计算解(拆项法)把D按第一列拆分成两个行列式的和所以14.设a>b>c>0，试证证第一列乘(a+b+c)加到第三列15.设α、β、γ是方程x3+px+q=0的根，计算解由于由根与系数的关系可知，α+β+γ＝0，故D=0.16.设行列式，求第4行各元素的余子式的和.解记分别为第4行各元素的余子式和代数余子式.则按第3行展开17.已知5阶行列式求其中为
8、的第4行各元素的代数余子式.解18.用Laplace定理计算解取D的第1，2行，D含有第1，2行的不为0的2阶子式有3个相应的代数余子式为19用Laplace定理计算解取第3,4,5列,含这些
