第2章_连续时间信号的傅里叶分析_2.2傅里叶级数与连续时间周期信号的频谱

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1、第2章连续时间信号的傅里叶分析2.2傅里叶级数与连续时间周期信号的频谱2.2.1傅里叶级数的定义连续时间周期信号的傅里叶级数的定义：如果以T为周期的连续时间周期信号x(t)满足Dirichlet条件：①连续时间周期信号x(t)在一个周期内绝对可积；②连续时间周期信号x(t)在一个周期内只有有限个极值点；③连续时间周期信号x(t)在一个周期内连续，或者只有有限个第一类间断点。则可以将其展开为三角级数，并且此三角级数收敛，称为傅里叶级数（FourierSeries，FS）。将连续时间周期信号x(t)展开为傅里叶级数的目的，就是用三角函数或各次谐波的线性组合来表示该信号。在一般情况下，在工

2、程中所使用的连续时间周期信号x(t)都能满足Dirichlet条件。因此，除非特殊需要，无需考虑这一条件。直流分量的幅值：余弦分量的幅值：正弦分量的幅值：证明：见高等数学教材。在一个周期T内，各次谐波的幅值按以下各式计算，称为傅里叶系数：其中基频为三角函数形式的傅里叶级数展开式（1）三角函数形式的傅里叶级数展开式复指数函数形式的傅里叶级数展开式：前者被称为综合公式或合成公式（SynthesisEquation）。后者被称为分析公式或分解公式（AnalysisEquation）。证明：见附件。在一个周期T内，各次谐波的幅值按以下各式计算，称为傅里叶系数：（2）复指数函数形式的傅里叶级数

3、展开式其中基频为两种展开式的傅里叶系数之间的关系：（3）两种展开式的傅里叶系数之间的关系证明：见附件。频谱的定义：将信号x(t)的傅里叶系数称为信号x(t)的频谱系数（SpectralCoefficients），简称频谱（Spectrum）或谱线，记作（4）频谱的定义例1：周期信号的频谱分析（第一次作业）矩形脉冲周期信号频谱分析的MATLAB实现。①矩形脉冲周期信号的时域波形：②矩形脉冲周期信号的频谱：实部和虚部。③矩形脉冲周期信号的频谱：幅值和相位。连续时间周期信号频谱的特点：①离散性：谱线只在基频的整数倍上出现。②谐波性：每条谱线都表示一个高次谐波。③衰减性：随着谐波次数的增加，

4、谱线逐渐衰减为零，也即谱线具有衰减的非周期性。（5）连续时间周期信号频谱的特点关于连续时间周期信号频谱的几点说明：①信号x(t)的频谱系数是对信号x(t)中的每一个谐波分量的大小所做出的度量。②“频谱系数”这一术语是从光的分解中借用过来的。光通过分光镜分解出一组谱线（SpectralLines），这组谱线就是光在不同频率下的各个基本分量。在这种分解中，在每一条谱线所对应的频率处，每一条谱线的强度就是该条谱线在光的全部能量中所占有的部分能量的直接度量。③将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义。从信号分析的角度来看，将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了

5、一种途径。对于不同的信号，只是组成这些不同信号的各个谐波的频率、幅值和相位不同而已。④有些教材试图对“负频率”进行物理上的解释。引入所谓“负频率”的概念，只是数学推导的结果，并没有实际的物理意义。实际上，频率ω0并没有取负值，只是高次谐波的次数n取了负值。当在计算过程中引入了虚数的计算技术后，这些取负值的结果只是数学推导的结果，并没有实际的物理意义。在计算过程中引入虚数的根本目的，就是将正弦函数和余弦函数转换为指数函数，从而可以简化正弦函数和余弦函数的微积分计算，因为指数函数的微积分计算相对简单一些。傅里叶级数的性质：（1）线性性质记（2）时移性质（3）频移性质（4）翻转性质（5）共

6、轭性质（6）Parseval定理此式说明，周期信号的平均功率在时域和频域的计算结果相等，即满足能量守恒原理。离散频谱可以用来描述信号的功率（能量）在不同谐波频率上的分配情况。2.2.2傅里叶级数的性质2.2.3周期信号的傅里叶级数举例参考：郑君里等《信号与系统》（第二版）上册P.101~P.1093.3典型周期信号的傅里叶级数上册P.374~P.377附录二常用周期信号的傅里叶级数表已知连续时间周期信号x(t)的三角函数形式的傅里叶级数展开式为如果采用无穷级数完全逼近函数x(t)，则n应当趋近于∞。在实际工程应用中，往往取有限项级数来代替或近似无限项级数，即取n=N，其中N是有限整数

7、。如果N越大，则近似的均方误差愈小。如果用前2N＋1项逼近，则前2N＋1项的部分和为误差函数：均方误差：2.2.4傅里叶级数的有限项截断近似和误差例2：观察傅里叶级数的叠加过程设周期方波信号在一个周期内的表达式为：将其展开为傅里叶级数：取不同数量的谐波进行叠加，观察傅里叶级数的叠加过程。2.2.5Gibbs现象分别取N=1，3，5，99次谐波进行叠加，观察傅里叶级数的叠加结果：实际观察的结果是，有限项的部分和在不连续点附近呈现出一种起伏的状态，而且该起伏的