第七章概率论基础

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1、第七章概率论基础[目的要求]概率论是研究随机现象的数量规律的学科，既从错综复杂的偶然性现象中揭示出潜在的必然性。由于随机现象在客观世界是广泛存在，因些概率论的基本理论和方法已被广泛地应用到社会科学和自然科学（尤其生命科学）的许多领域之中。概率论不仅是学习统计学的重要基础，也是从事生命科学和医务工作的有力工具，因此要求：１.了解随机事件的概念及随机事件的运算关系。２.清楚理解概率的统计定义、全概率和贝叶斯公式、及其概率加法和乘法运算。３.掌握随机变量及其概率分布，概率密度函数和分布函数，特别是二项分

2、布及正态分布。４.掌握常见五种随机变量的均值和方差。[知识要点与重点内容例题分析选讲]知识要点与重点1:事件的概率运算(1)概率的定义及其计算（2）若（3）对任意两个事件A,B,有加法公式：对任意两个事件A,B,有(4)条件概率：(5)乘法公式：(6)全概率公式：(7)Bayes公式：典型例题:1.一批零件共100个，次品率为10%，每次从中任取一个零件取出后不放回，求（1）第二次才取得正品的概率（2）第二次取得正品的概率。解：设A={正品}，p(A)=90/100,P()=10/100，(1).

3、P(A)=P()P(A)=(10/100)(90/99)=1/11,(2)P(A)=P()P(A)=(10/100)(90/100)=9/1002.一办公室内有8台计算机，在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻：(1)恰有3台计算机被使用的概率是多少？(2)至多有2台计算机被使用的概率是多少？(3)至少有2台计算机被使用的概率是多少？解：　设为在同一时刻8台计算机中被使用的台数，则X～，于是3.设某人每次射击的命中率为0.02.独立射击400次，试求至少击

4、中两次的概率.解：　将每次射击看成一次试验.设击中的次数为X，则X~B(400,0.02).X的分布列为：，于是所求概率为：直接计算上式很麻烦.可以用泊松定理求其近似值，因为查泊松表直接得到结果知识要点与重点2:随机变量1．随机变量的概念在随机试验中，如果试验的结果可以用一个变量来表示，那么这个变量称为随机变量.我们用大写字母X、Y、Z，…或小写的希腊字母等来表示随机变量.2．离散型随机变量及其分布列定义：如果随机变量所有可能取的值只有有限个或可列无限多个(即可以和自然数集中的元素1-1对应),则

5、称X为离散型随机变量.设离散型随机变量X所有可能取的值为,X取值为的概率为,.称为离散型随机变量的概率分布或分布列.分布列还可以简单的表示为…………分布列具有以下性质：（1）（2）3．连续型随机变量及其密度函数定义:设随机变量X,，如果存在非负可积函数f(x)，使对任意，都有则称X为连续型随机变量,称f(x)为X的概率密度函数，简称密度函数或概率密度.连续型随机变量的密度函数具有如下性质：（1）（2）（3）（）4．分布函数定义：设X是一随机变量，是任意实数，函数称为X的分布函数.随机变量X落在任意

6、区间内的概率可以由分布函数表示为：分布函数的性质：（1）是一个不减函数.（2），且，.（3），即是右连续的.5.五种常见的随机变量及其概率分布求离散型随机变量的概率又可以分为以下几大类：（1）服从（0-1）分布的随机变量的概率.即，如果随机变量X只取两个值，就称X服从两点分布，一般两点分布取值为0和1，分布列为：x011-pP（2）服从二项分布的离散型随机变量的概率.即，在n重伯努利试验中事件A发生的次数X是一个随机变量，如果每次试验中发生的概率为p，称X服从参数为的二项分布或伯努利分布，记X~.

7、二项分布是概率论中的一种重要分布.如果每次试验中事件A发生的概率为，则在次伯努利试验中事件A恰好发生k次的概率为：.其中.（3）服从泊松分布的离散型随机变量的概率.即，如果随机变量X所有可能取值为，且其中为常数，则称X服从参数为的泊松分布，记X～.（4）已知随即变量X服从某区间[a，b]上的均匀分布，记为，即密度函数为，求其概率.（5）已知随即变量X服从参数为的正态分布，记为，即密度函数为，求其概率.1．随机变量及其分布分布函数计算：2．随机变量的数字特征:（1）数学期望：离散性：连续性：（2）方

8、差：(3)常用的几个分布的数学期望（均值）与方差列表如下：类型名称分布列或密度函数数学期望方差离散型两点分布（）（）二项分布（）参数，泊松分布，参数，连续型均匀分布参数，指数分布正态分布为参数，其中典型例题:1．实验室共有40台同类仪器,其中有5台仪器不能正常工作.某班实验课随机取其中的34台做实验,求取到的不能正常工作的仪器台数X的分布列.解X的分布列为:2．设随机变量X的密度函数为(1)确定常数A；(2)计算概率.解由密度函数的性质（1），从而（2）3．一个目标的距离，测量误差