概率论基础讲义

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1、概率论基础知识第一章随机事件及其概率一随机事件§1几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验；（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。  例如：E1：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；  E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件：常记为A，B，C……  例如，在E1中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。3

2、、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Ω。每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为Φ。  例如，在E1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件,以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件。4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。  例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。  由基本事件构成的事件称为复合事件，例如，在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点，常记为e.  例如

3、，在E1中，用数字1，2，……，6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，…{6}便是E1中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。   例如，在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为Ω。   例如，   在E1中，Ω={1，2，3，4，5，6}   在E2中，Ω={（H，H），（H，T），（T，H），

4、（T，T）}   在E3中，Ω={0，1，2，……}例1，一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种。    此试验样本空间所有样本点的个数为NΩ=P210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）    若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为(组合)例2．随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。此试验的样本空间所有样本点的个数为       第一种方法用组合+乘法原理；第二种方法用排列§2事件间的关系与运算  1、包含:“若事件A的发生必导致事件B发生，则称事件B包

5、含事件A，记为AB或BA。 例如，在E1中，令A表示“掷出2点”的事件，即A={2}B表示“掷出偶数”的事件，即B={2，4，6}则  2、相等：若AB且BA，则称事件A等于事件B，记为A=B 例如，从一付52张的扑克牌中任取4张，令A表示“取得到少有3张红桃”的事件；B表示“取得至多有一张不是红桃”的事件。显然A=B 3、和：称事件A与事件B至少有一个发生的事件为A与B的和事件简称为和，记为AB，或A+B 例如，甲，乙两人向目标射击，令A表示“甲击中目标”的事件，B表示“乙击中目标”的事件，则AUB表示“目标被击中”的事件。 推广：有限个无穷可列个  4、

6、积：称事件A与事件B同时发生的事件为A与B的积事件，简称为积，记为AB或AB。 例如，在E3中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令A={接到偶数次呼唤}，B={接到奇数次呼唤}，则AB={接到6的倍数次呼唤}推广：     任意有限个     无穷可列个  5、差：称事件A发生但事件B不发生的事件为A减B的差事件简称为差，记为A-B。 例如，测量晶体管的β参数值，令A={测得β值不超过50}，B=｛测得β值不超过100｝，则，A-B=φ，B-A=｛测得β值为50﹤β≤100｝ 6、互不相容：若事件A与事件B不能同时发生，即AB=φ，则称A与B是互

7、不相容的。 例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯：若A={红灯亮}，B={绿灯亮}，则A与B便是互不相容的。7、对立：称事件A不发生的事件为A的对立事件，记为显然，A∩=φ例如，从有3个次品，7个正品的10个产品中任取3个，若令A={取得的3个产品中至少有一个次品}，则={取得的3个产品均为正品}。 §3事件的运算规律1、交换律A∪B=B∪A；A∩B=B∩A2、结合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C）；（A∩B）∩C=A∩（B∩C）3、分配律A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）4、对偶律  此外，还有一些常用性质，如 

8、 A∪BA，A∪BB（越求和越大）；A∩BA，A∩B