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时间：2018-10-05
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1、高等数学竞赛试题1一、填空：1．若是上的连续函数，则a=。2．函数在区间上的最大值为。3．4．由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为5．设函数由方程所确定，则二、选择题：1．设函数f(x)可导，并且，则当时，该函数在点处微分dy是的（）（A）等价无穷小；（B）同阶但不等价的无穷小；（C）高阶无穷小；（D）低阶无穷小。2．设函数f(x)在点x=a处可导，则在点x=a处不可导的充要条件是（）（A）f(a)=0，且；（B）f(a)≠0，但；（C）f(a)=0，且；（D）f(a)≠0，且。3．曲线（）
2、（A）没有渐近线；（B）有一条水平渐近线和一条斜渐近线；（C）有一条铅直渐近线；（D）有两条水平渐近线。4．设均为可微函数，且。已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项中的正确者为（）（A）若，则；（B）若，则；（C）若，则；（D）若，则。5．设曲面的上侧，则下述曲面积分不为零的是（）７（A）；（B）；（C）；（D）。三、设函数f(x)具有连续的二阶导数，且，，求。解四、设函数由参数方程所确定，求。解：７五、设n为自然数，计算积分。解：六、设f(x)是除x=0点外处处连续的奇函数，x=0为其第一类跳跃间断点，证明是连
3、续的偶函数，但在x=0点处不可导。证明：７七、设f(u,v)有一阶连续偏导数，，，证明：。解：八、设函数f(u)连续，在点u=0处可导，且f(0)=0，求：。解：。７九、计算，其中L为正向一周。解：７十、⑴证明：当充分小时，不等式成立。⑵设，求。十一、设常数，证明：当x>0且x≠1时，。证明：７十二、设匀质半球壳的半径为R，密度为μ，在球壳的对称轴上，有一条长为l的均匀细棒，其密度为ρ。若棒的近壳一端与球心的距离为a，a>R，求此半球壳对棒的引力。解：７
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