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1、第十九讲圆锥曲线中的最值和范围问题★★★高考在考什么【考题回放】1．已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C)A.(1,2)B.(1,2)C.D.(2,+∞)2．P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则
2、PM
3、－
4、PN
5、的最大值为（D）A.6B.7C.8D.93．抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是(A)A．B．C．D．4．已知双曲线
6、的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且
7、PF1
8、=4
9、PF2
10、,则此双曲线的离心率e的最大值为：（B）(A)(B)(C)(D)5．已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是32.6．对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足
11、PQ
12、≥
13、a
14、，则a的取值范围是(B)（A）（－∞，0）（B）（－∞，2（C）［0，2］（D）（0，2）★★★高考要考什么【热点透析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用
15、以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，
16、它们的应用价值在于：①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；（6）构造一个二次方程，利用判别式D³0。★★★突破重难点【例1】已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件.记动点的轨迹为W.（Ⅰ）求W的方程；（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值.解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为：（x>0）（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，此时A（x0，），B（x0，－）
17、，＝2当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入双曲线方程中，得：(1－k2)x2－2kbx－b2－2＝0依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则解得
18、k
19、>1，又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝>2综上可知的最小值为2【例2】给定点A(-2,2)，已知B是椭圆上的动点，F是右焦点，当取得最小值时，试求B点的坐标。解：因为椭圆的，所以，而为动点B到左准线的距离。故本题可化
20、为，在椭圆上求一点B，使得它到A点和左准线的距离之和最小，过点B作l的垂线，垂点为N，过A作此准线的垂线，垂点为M，由椭圆定义于是为定值其中，当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立，此时B为所以，当取得最小值时，B点坐标为【例3】已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动，Q点在椭圆上移动,试求
21、PQ
22、的最大值。解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时
23、PQ
24、最大，因此要求
25、PQ
26、的最大值，只要求
27、O1Q
28、的最大值.设Q(x，y)，则
29、O1Q
30、2=x2+(y-4)2①因Q在椭圆上,则x2=9(1
31、-y2)②将②代入①得
32、O1Q
33、2=9(1-y2)+(y-4)2因为Q在椭圆上移动，所以-1£y£1，故当时，此时【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。【例4】已知椭圆的一个焦点为F1(0,-2)，对应的准线方程为，且离心率e满足：成等差数列。（1）求椭圆方程；（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分，若存在，求出l的倾斜角的范
34、围；若不存在，请说明理由。（1）解：依题意e，∴a＝3，c＝2，b＝1，又F1(0，－2)，对应的准线方程为∴椭圆中心在原点，所求方程为(2)假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被平分∴直线l的斜率存在。设直线l：y＝kx＋m由消去y，整理得(k2＋9)x2＋2kmx＋m2－9＝0∵l与椭圆交于不同的两点M、N，∴Δ＝4k2m2－4(k2＋9)(m2－9)＞0即m2－k2－9＜0①设M(x1,y1),N(x2,y2)②把②
