探究圆锥曲线中的最值和范围问题

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1、分析：在平面上，由[x]的图形关于X轴，y轴对称,[y]2=1.>0时,由[x]+[y]=50得zLx」z=25.LxJ=1,i9门2=25.[y]2=49.[x]=7,Ex]=5,[x]=1,j故1[y]Irn=1,[y]=5,[y]=7,2所以相应有2+[y]=50的点所形成故可先考察第一象限的情2况,E

2、Jx>0,y=49.t与分析:因为对任意正整数k,99均不是整数，且卜+疋=82kt9982kT8空82k-18空T所以对任意正整数k,[9]+〔9]=99-1=82k_1=7(mod63).88，83320148迭二18比6.平面区域视角例6（2011年全国高中数学联

3、赛片肃赛区试题）设[X]表示不超过实数X的最大整数，则在平而上，由满足[x]2+[y]2=50的点所形成的图形的面积是7Sx<8,5Sx<6,1x<2,1

4、准试验教科书一数学（必修1）[M].北京：人民教育出版社，2007.[2]洪恩锋.源于课本例题的-个活跃函数高斯函数[J].中学生数学：高中版，2014（10）:42一43.[广东省兴宁市第一中学（514500）]探究圆锥曲线中的最值和范围问题■李成群y若/图解析：（1）由题意可设抛物线C的方程为x2摘要：圆锥曲线中的最值与取值范围问题是教学的重点也是教学的难点.乂是高考的重点，还是学生的失分点.解析儿何中的变量范围及最值问题的讨论，关键也是依据解析儿何本身的特性，建立起不等式.关键词：问题探究；最值；取值范围问题圆锥曲线中的范围、最值问题常见的分析思路：（1）圆锥曲线上的点

5、到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的授值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和（或差）与笫三边作者简介:李成群（1979-）,男，中学一级教师,主要从事中学数学教育研究的不等关系求解.（2）圆锥曲线上的点到定应线的距离的最值问题解法用平行切线法.（3）点在圆锥曲线±（非线性约束条件）的条件下，求柑关式了（目标函数）的取值范围问题，常川参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平而儿何知识或引入一个参数（冇儿何意义）化为函数进行处理.例1如图1,已知抛物线C的顶点为0（0,0）,焦点为F（0,1）<（1

6、）求抛物线C的方程；（2）过点F作直线交抛物线C于A,B两点.直线AO,BO分别交直线I:y=x

7、MN

8、的最小值.2016年第1朗?1994-2016ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.lHtp://vvvw.cnki.ncl匕的2py(p>0)，则p/2=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)设A(X〕，旳)，B(X2,y2)，直线AB的方程为y=y=kx+1,kx+1.由｛x2=4y.消去y,整理得x2-4kx-4=0,所以Xi+x2=4k,Xix2=-4.从而

9、—X2

10、=y

11、=(y/x)x,4/V+1・illz11解得点M的横处标xly=xM-2.2xi2xi8AA21-yi=1-X!/4=4-Xi•同理点N的横坐标xN8/(4-x2).所以

12、MN

13、二2

14、xM一Xn

15、二2

16、^/(4-X!)一8/(4—X2)

17、=82Xi—X282k厶+1

18、

19、=•令4k—3=tXix2-4X1+x2+16I4k—3ItHO,则k=(t+3)/4.当t>0吋，

20、MN

21、二2石~6_+1>22Tt2t当t<0时，

22、MN

23、二22Q+卫)+西>A115255综上所述，当t=-25/3,即k=-4/3时，

24、MN

25、8的最小值是52.例2已知F[,f2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是

26、它们的一个公共点，且fPF2=n/3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数Z和的最大值为()(B)/(C)3(D)23解析：假定焦点在x轴上，点P在第--象限，R,F2分别为左、右焦点.设椭圆的方程为—+1(a>ba2bz>0),双llll线的方程为xi-£=1(m>0,n>0),它m2nz们的离心率分别为®,e?,则

27、PF!

28、=a+m,

29、PF2

30、=a—m>在PFtF2中，4c2=(a+m)2+(a—m)2—2(a+m)(a-m)cos-^a2+3m2=4c2(-^-)2+3(2二4,则[(J.)2+3(HL)