哈工大概率论答案-习题七

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1、习题七1．对某一距离进行5次测量，结果如下：（米）.已知测量结果服从，求参数和的矩估计.解的矩估计为，的矩估计为，所以2．设是来自对数级数分布的一个样本，求的矩估计.解（1）因为很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩（2）（1）（2）得所以所以得的矩估计3．设总体服从参数为和的二项分布，为取自的样本，试求参数和的矩估计·110·解解之得，，即，，所以和的矩估计为，.4．设总体具有密度其中参数为已知常数，且，从中抽得一个样本，，求的矩估计解，解出得于是的矩估计为.5．设总体的密度为·110·试用样本求参数的矩估计和极大似然估计.解先求矩估计：解出得所以的矩估计为.再求极大似然估计：，，，

2、解得的极大似然估计：.6．已知总体在上服从均匀分布，是取自的样本，求的矩估计和极大似然估计.解先求矩估计：，解方程组得·110·注意到，得的矩估计为，.再求极大似然估计，，由极大似然估计的定义知，的极大似然估计为；.7．设总体的密度函数如下，试利用样本，求参数的极大似然估计.（1）（2）.解（1）解似然方程，得的极大似然估计（2）由极大似然估计的定义得的极大似然估计为样本中位数，即·110·8．设总体服从指数分布试利用样本求参数的极大似然估计.解由极大似然估计的定义，的极大似然估计为9．设来自几何分布，试求未知参数的极大似然估计.解，解似然方程，得的极大似然估计。10．设是来自两个参

3、数指数分布的一个样本.·110·其中，求参数和的（1）极大似然估计；（2）矩估计。解（1）由极大似然估计的定义，得的极大似然估计为；解似然方程得的极大似然估计（2）解方程组得.所以的矩估计为11．罐中有个硬币，其中有个是普通硬币（掷出正面与反面的概率各为0.5）其余个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，如此重复次，若掷出0次、1次、2次正面的次数分别为·110·，利用（1）矩法；（2）极大似然法去估计参数。解设为连掷两次正面出现的次数，‘取出的硬币为普通硬币’，则,，即的分布为（1）解出得的矩估计为（2），，解似然方程得的极大似

4、然估计.12．设总体的分布列为截尾几何分布，从中抽得样本，其中有个取值为，求的极大似然估计。·110·解解似然方程得的极大似然估计.13．设总体服从正态分布是其样本，（1）求使得是的无偏估计量；（2）求使得为的无偏估计量.解（1）可见当时，是的无偏估计量.（2）设，因，所以·110·.因为，所以于是故当时是的无偏估计。14．设是来自参数为的泊松分布总体的样本，试证对任意的常数，统计量是的无偏估计量。证（此处利用了是的无偏估计，是的无偏估计），所以对任意的是的无偏估计。15．设总体有期望为一样本，问下列统计量是否为的无偏估计量？（1）;（2）;（3）;（4）；（5）；（6）.解（1），

5、（2），（3）都是样本的线性组合，而且组合系数之和为1，故它们都是的无偏估计。但（4），（5），（6）一般不是的无偏估计，如，则，而不是0就是1，且，故即不是的无偏估计。16．设是参数的无偏估计量，且有，试证明不是·110·的无偏估计量。证，即不是的无偏估计量.注：该题说明：当是未知参数的无偏估计时，的函数不一定是的函数的无偏估计。17．设总体，是来自的样本，试证估计量；，.都是的无偏估计，并指出它们中哪一个最有效.证故都是的无偏估计.,，.所以最有效.18．设总体服从区间上的均匀分布，未知，是取自的样本。（1）求的矩估计和极大似然估计量；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是

6、，请修正为无偏估计量；（3）问在（2）中两个无偏估计量哪一个更有效。解（1）先求矩估计，，所以的矩估计为·110·再求极大似然估计.，所以的极大似然估计为（2）可见矩估计是的无偏估计.为求的数学期望，先求的密度.总体的分布函数为的分布函数为所以可见不是的无偏估计，若将修正为，则是的无偏估计。（3）·110·.故较有效.19．设总体的数学期望已知，试证统计量是总体方差的无偏估计.证，证毕.20．设总体为来自的样本，试证是的相合（一致）估计.证因为相互独立，所以也相互独立且具有相同的分布，由大数定理，对任意的有·110·.即依概率收敛于，而依概率收敛于，由依概率收敛的性质.又由于（当时）

7、而，故依概率收敛于，从而是的相合估计。21．设是来自总体的一个样本，是的一个估计量，若且试证是的相合（一致）估计量。证由切比雪夫不等式，对任意的有于是即依概率收敛于，故是的相合估计。22．设是取自均匀分布在上的一个样本，试证是的相合估计。证的分布函数为的密度为·110·所以由切比雪夫不等式有当时故是的相合估计.23．从一批钉子中抽取16枚，测得长度（单位：厘米）为2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.