哈工大概率论参考答案习题.doc

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1、习题一1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数.‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数.‘两次点数之和为10’，‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，‘球的最小为1’；（4）将两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间，通过某桥的汽车流量，‘通过汽车不足5台’，‘通过的汽车不少于3台’。解（1）其中‘出现点’

2、，。（2）}；；。（3）（4），其中‘’表示空盒；。（5）。2．设是随机试验的三个事件，试用表示下列事件：（1）仅发生；（2）中至少有两个发生；（3）中不多于两个发生；（4）中恰有两个发生；（5）中至多有一个发生。解（1）（2）或；（3）或；（4）；（5）或；3．一个工人生产了三件产品，以表示第件产品是正品，试用表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。解（1）；（2）；（3）；（4）。4．在中任取一个，求后面四个数字全不相同的概率。解设‘任

3、取一后四个数字全不相同’，则5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求（1）5只全是好的的概率；（2）5只中有两只坏的的概率。解（1）设‘5只全是好的’，则；（2）设‘5只中有两只坏的’，则.6．袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求（1）3个球的最小为5的概率；（2）3个球的最大为5的概率.解（1）设‘最小为5’，则；（2）设‘最大为5’，则.7．（1）教室里有个学生，求他们的生日都不相同的概率；（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.解（1）设‘他们的生日都不相同’，则

4、；（2）设‘至少有两个人的生日在同一个月’，则；或.8．设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率.解设‘生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天’，则.9．将等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率是多少？解1设‘恰好排成SCIENCE’将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：字母在7个位置中占两个位置，共有种占法，字母在余下的5个位置中占两个位置，共有种占法，字母剩下的3个位置上全排列的法共3！种，故基本事件总数为，而中的基

5、本事件只有一个，故；解2七个字母中有两个，两个，把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。一般地，设有个元素，其中第一种元素有个，第二种元素有个…，第种元素有个，将这个元素排成一排称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为，对于本题有.10．从等个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：‘三个数字中不含0和5’，‘三个数字中不含0或5’，‘三个数字中含0但不含5’.解.，或，.11．将双大小各不相同的鞋子随机地分成堆，每堆两只，求事件‘每堆各成一双’的概率.解双鞋子随机地分成堆属分组问题，不同的分法共‘每堆

6、各成一双’共有种情况，故12．设事件与互不相容，，求与解因为不相容，所以，于是13．若且，求.解由得14．设事件及的概率分别为，求及解.15．设，且仅发生一个的概率为0.5，求都发生的概率。解1由题意有，所以.解2仅发生一个可表示为，故所以.16．设，求与.解，所以，故；.所以17．设，试证明[证]因为，所以故.证毕.18．对任意三事件，试证.[证].证毕.19．设是三个事件，且，，求至少有一个发生的概率。解因为，所以，于是20．随机地向半圆（为正常数）掷一点，点落在园任区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与轴

7、的夹角小于的概率.解：半圆域如图0yxyxax设‘原点与该点连线与轴夹角小于’由几概率的定义21．把长为的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.解1设‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为，则，不等式构成平面域.aS发生Aa/2不等式确定的子域，所以aa/20解2设三段长分别为，则且，不等式确定了三维空间上的有界平面域.xzyA发生不等式确定的子域，所以.22．随机地取两个正数和，这两个数中的每一个都不超过1，试求与之和不超过1，积不小于0.09的概率.1yy1y0.90.10yASy解，不等式确定平面域.‘’则发生

8、的充要条件为不等式确定了的子域，故23．（蒲丰投针问题）在平面上画出等距离的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长的针，求针与任一平行线相交的概率.解设‘针与某平行线相交’，针落在平面上的情况不外乎图中的几种，设为针的中点到最近的一条平行线的距离。为针与平行线的夹角，则ayay，不等式确定了平面上xy0y