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1、合数与素数分布初等规律表达式郭占祥榆树市农机监理站吉林省榆树市（130400）E-mail:zgssdl@163.com摘要：本文根据合数分布初等规律找到素数分布初等规律表达式。关键词：数论；合数分布；素数分布中图分类号：O156.10引言数论就是整数比较论。核心是研究素数分布。爱腊脱色素余筛法，是由公元前250年古希腊数学家爱腊脱色素余（Eratosthenes）所提出的一种简单检定素数的算法。其方法简单说，若想筛去自然数列1,2,3,…区间[1,N]上的合数，就需分步筛去整数“2,…,”的x倍合数。从爱氏筛法至今2262年，人们孤立地去研究素数本身分
2、布的规律。一直认为素数分布个数不可能用初等数学公式表达。在这里先给出“数列规律”定义：是指合数或素数分布个数f随着区间[x]的有序变化量。显然x是自变量，而f是因变量。区间[x]的科学划分决定f值的精度。德国数学家高斯（C.F.Gauss,1777.4.30──1855.2.23），他经过大量的计算经验，建议使用.对正实数x，定义π（x）为不大于x的素数个数。其中lnx为x的自然对数。这个公式被称为“素数核心定理”[1]。我国著名数学家华罗庚在他的《数论导引》[2]中说过，自古至今关于素数分布的公式都来自于经验。显然“素数定理”也是经验公式或称猜想。人们
3、曾用（黎曼）猜想证明“素数定理猜想”。我们应当清醒地明白：经验不是科学，对数函数不是素数函数，充分大不是无穷大。公式中的x至少不能是任意的。为什么呢？因为素数分布个数π（x）在一定的[x]区间上是有规律的。那么，怎样确定素数分布区间[x]的大小呢。首先我们来分析一下合数与素数在自然数列1,2,3,…的分布机制。“1”俗称“原子数”，是构成素数的原始单位，又称“原始素数”。“素数”俗称“分子数”，是合成合数的基本单位。根据整除的“传递性”，1能整除素数，素数能整除合数，1就是所有自然数的最小单位。自然数分为“素数（包括1）”与合数两大类。“素数”与合数相互
4、依存，对立统一于自然数列。“素数”＝自然数－合数。把合数与素数联系起来研究是本文的一个核心方法。其次，来分析一下爱氏筛法。它是筛去区间[1,N]上合数，保留素数。暂且称为“爱氏区间正筛法”。用反向思维。筛去数列上能被“2,3,5,…,p”整除的合数以外的“剩余类”数，保留有限的“2,3,5,…,p”整除的合数，考察“有限合数”分布规律及“剩余类数”分布规律的联系。把这种筛法，暂且称为“爱氏数列反筛法”。再次分析爱氏数筛法原理“2,…,”的区间[1,N]与数列的关系。设奇数ε≥3，N=ε+2，则区间[1,N]写成开区间（1,(ε+2)2-22）。只要筛去整
5、数“2,…,ε”的x倍合数，就能筛净开区间（1,(ε+2)2-22）上的全部合数。我们不要孤立地去分析开区间（1,(ε+2)2-22）上的素数分布情况。而是要从全数列来分析。例如，我们把奇数列1,3,5,…分为有限的“3,…,ε”的x倍合数（称有限倍合数）和“有限倍合数”以外的“剩余类数”（称合外剩余数）两类。显然，“合外剩余数”又分为“纯素数”（在开区间（1,(ε+2)2-22）上）和“杂素数”（在开区间（(ε+2)2-22,∞）上）。12有限的“3,…,ε”的x倍合数，在以ε的倍数划分的区间[1,1ε],[1ε+2,1ε],[3ε+2,5ε],…上的
6、分布个数是有规律的。所以，奇数列区间分布规律－“有限合数”区间分布规律＝“合外剩余数”区间分布规律。在开区间（1,(ε+2)2-22）上的素数是“合外剩余数”的组成部分，所以素数分布在“ε倍区间”上也有规律。素数分布区间划分定理：在奇数列1,3,5,…的开区间（1,(ε+2)2-22）上，以ε的倍数划分的区间[1,1ε],[1ε+2,1ε],[3ε+2,5ε],…上必有素数分布。根据这个定理，可有如下推导。推理：设N=1,3,5,…则在奇数列1,3,5,…的区间[N2,(N+2)2-2]上必有素数分布。又设区间[N2,(N+2)2-2]上的项数为x=2(
7、N+1)，那么，这个区间上的素数分布个数可以用π(x)≈x/ln(x/2)来近似求出。这个公式∑x/ln(x/2)比求值精确。1“有限合数”分布初等规律1.1合数类型及合数分布公差定理把在奇数列1,3,5,…上的合数分为：（1）3倍合数9,15,21,…的分布公差d3=2×3（2）5倍合数15,25,35,…的分布公差d5=2×5（3）7倍合数21,35,49,…的分布公差d7=2×7（4）9倍合数27,45,63,…的分布公差d7=2×9……（n）ε倍合数3ε,5ε,7ε,…的分布公差dε=2ε定义：我们把有限的“3倍，5倍，7倍，（9）倍，…，ε倍合
8、数”称作有限合数。1.2ε倍合数等差分布定理设ε≥3，在奇数列1,3,5,…上，
