第三章 z变换(数字信号处理)

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1、3序列的Z变换3.1Z变换的定义序列x(n)的Z变换定义为(3.1)式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。注意在定义中，对n求和是在±∞之间求和，可以称为双边Z变换。还有一种称为单边Z变换的定义，如下式(3.2)使(3.3)式成立，Z变量取值的域称为收敛域。一般收敛域用环状域表示这种单边Z变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。本书中如不另外说明，均用双边Z变换对信号进行分析和变换。(3.1)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即(3.3)图3

2、.1Z变换的收敛域常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。对比序列的傅里叶变换定义，很容易得到FT和ZT之间的关系，用下式表示：(3.4)式中z=ejω表示在z平面上r=1的圆，该圆称为单位圆。(3.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。如果已知序列的Z变换，可用(3.4)式，很方便的求出序列的FT，条件是收敛域中包含单位圆。例3.1x(n)=u(

3、n)，求其Z变换。解：X(z)存在的条件是

4、z-1

5、<1，因此收敛域为

6、z

7、>1，

8、z

9、>1由x(z)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的Z变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆。因此其傅里叶变换不存在，更不能用(3.4)式求FT。该序列的FT不存在，但如果引进奇异函数δ(ω)，其傅里叶变换可以表示出来(见表2.3.2)。该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在，在一定收敛域内Z变换是存在的。3.2序列特性对收敛域的影响序列的特性决定其Z变换收敛域。1.有限长序列如序列x(n)满足下式：x(n)n1≤n≤n2x(n)=

10、0其它即序列x(n)从n1到n2序列值不全为零，此范围之外序列值为零，这样的序列称为有限长序列。其Z变换为设x(n)为有界序列，由于是有限项求和，除0与∞两点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个z平面均收敛。如果n1<0，则收敛域不包括∞点；如n2>0，则收敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括z=∞点。具体有限长序列的收敛域表示如下：n1<0，n2≤0时，0≤z＜∞n1<0，n2>0时，00时，0

11、列，因此收敛域为0

12、z

13、＜∞。第二项为因果序列，其收敛域为Rx-<

14、z

15、≤∞，Rx-是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相

16、与，其收敛域为Rx-<

17、z

18、<∞。如果x(n)是因果序列，收敛域定为Rx-<

19、z

20、≤∞。推论：如序列x(n)的Z变换的收敛域包含∞点，则x(n)是因果序列例3.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域解：在收敛域中必须满足

21、az-1

22、<1，因此收敛域为

23、z

24、>

25、a

26、。3.左序列左序列是在n≤n2时，序列值不全为零，而在n>n2，序列值全为零的序列。左序列的Z变换表示为当n2≤0当n2>0第二项为有限长序列，在整个Z平面收敛（z=∞点不收敛）。第一项根据前式的论述，当时收敛因此左序列的收敛域是半径为R+的圆内区域

27、例3.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。X(z)存在要求

28、a-1z

29、<1，即收敛域为

30、z

31、<

32、a

33、4.双边序列一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和，其Z变换表示为X(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的公共收敛区域。如果Rx+>Rx-，其收敛域为Rx-<

34、z

35、

36、n

37、，a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。解：第一部分收敛域为

38、az

39、<1，得

40、z

41、<

42、

43、a

44、-1，第二部分收敛域为

45、az-1

46、<1，得到

47、z

48、>

49、a

50、。如果

51、a

52、<1，两部分的公共收敛域为

53、a

54、<

55、z

56、<

57、a

58、-1，其Z变换如下式：

59、a

60、<

61、z

62、<

63、a

64、-1如果

65、a

66、≥1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。当0