2009年全国高中数学联合竞赛一试试题

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1、2009年全国高中数学联合竞赛一试试题考试时间：10月11日上午8：00－9：20一、填空题：本大题共8小题，每小题7分，共56分。把答案填在横线上。1、2、3、4、5、6、7、一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数字之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是＿＿＿＿。58、某车站每天都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站的时刻8：109：108：309：308：509：50概率一旅客8：20到站，则它候车时间的数学期望为＿＿＿＿＿＿＿。（精确到分）分

2、析：一、解答题：本大题共3小题，共44分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1、（本小题满分14分）2、（本大题满分15分）53、（本大题满分15分）2010年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上.1.方程在区间上的实根个数为_________________.2.设数列的前项和为，则满足不等式的最小整数是_____.3.已知（，）是常数，且，，，是区间内任意实数，则函数的最大值等于_________.4.圆周上给定10个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆内一共有______

3、___________个交点.55.一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每个顶点，它都等机会地爬向另外两个顶点之一，则它在次爬行后恰好回到起始点的概率为.6.设是平面上一个定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，其中，则点的轨迹为_________________.7.对给定的整数，符号表示中使能被3整除的唯一值，那么______________.8.分别以直角三角形的两条直角边，和斜边为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的体积依次为，，，则与的大小关系是_________________.二、解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1.（满分

4、16分）是否存在实数，使直线和双曲线相交于两点、，且以为直径的圆恰好过坐标系的原点？2.（满分20分）求证：不存在这样的函数，满足对任意的整数，，若，则.3.（本小题满分20分）设非负实数，，满足，求证：2010年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案一、填空题1.设，则，∵，∴，又，∴，即在区间上单调递增，故方程在区间上有且只有一个实根.2.易知数列是首项是，公比是的等比数列，∴，于是，∵，，故最小整数是7.3.∵，∴，故函数的最大值等于.4.圆周上任意四点构成一个四边形，四边形的两条对角线的交点必在圆内，所以四边形的个数与每两条弦的交点数相等，故有个交点.5.6.∵，∴，即

5、，5又，为单位向量，由向量加法的平行四边形法则，知点的轨迹为的平分线.7.由二项式定理知，，即被3除余1，∴，，，故.8.∵，，∴作商，有，故.二、解答题1.解：设交点、的坐标为、，由消去，得，由韦达定理，得，①，②∵以为直径的圆恰好过坐标系的原点，∴，∴，即，整理，得③将①②代入③，并化简得，∴，经检验，确实满足题目条件2.证明：假设存在这样的函数，则对任意的整数，设，，其中，由条件知.由于，，∴且，即是除去，后剩下的那个数，不妨设又由于，，∴.以代替，得，但这与矛盾！因此假设不成立，即不存在这样的函数.3.证明：先证左边的不等式.∵，∴再证右边的不等式.不妨设，注意到条

6、件，得，所以，综上，.5