《实变函数与泛函分析基础》试卷和答案

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1、试卷一：得分一、单项选择题（3分×5=15分）1、1、下列各式正确的是（）（A）;（B）;（C）;（D）;2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（）（A）c(B)(C)(D)3、下列说法不正确的是（）(A)凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集（D）波雷耳集都可测4、设是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是()（A）若,则(B)是可测函数（C）是可测函数;（D）若,则可测5、设f(x)是上有界变差函数，则下面不成立的是（）(A)在上有界(B)在上几乎处处存在导数（C）在上L可积(

2、D)得分二.填空题(3分×5=15分)1、_________（第18页，共18页）2、设是上有理点全体，则=______,=______,=______.3、设是中点集，如果对任一点集都有_________________________________，则称是可测的4、可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使_____________________________________________________,则称为

3、上的有界变差函数。得分三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)1、设，若E是稠密集，则是无处稠密集。2、若，则一定是可数集.3、若是可测函数，则必是可测函数。4．设在可测集上可积分，若，则（第18页，共18页）得分四、解答题（8分×2=16分）.1、（8分）设，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。考生答题不得超过此线2、（8分）求（第18页，共18页）得分五、证明题（6分×4+10=34分）.1、（6分）证明上的全体无理数作成的集其势为.2、（6分）设是上的实值连续函数，则对于

4、任意常数是闭集。（第18页，共18页）考生答题不得超过此线3、（6分）在上的任一有界变差函数都可以表示为两个增函数之差。4、（6分）设在上可积，，则.得分阅卷人复查人5、（10分）设是上有限的函数，若对任意，存在闭子集，使在上连续，且，证明：是上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)（第18页，共18页）试卷一答案：试卷一（参考答案及评分标准）一、1.C2D3.B4.A5.D二、1．2、；；3、4、充要5、成一有界数集。三、1．错误……………………………………………………2分例如：设是上有理点全体，则和都在中稠密………………………..5

5、分2．错误…………………………………………………………2分例如：设是集，则，但c，故其为不可数集……………………….5分3．错误…………………………………………………………2分例如：设是上的不可测集，则是上的可测函数，但不是上的可测函数………………………………………………………………..5分4．错误…………………………………………………………2分…5分四、1．在上不是可积的，因为仅在处连续，即不连续点为正测度集………………………………………..3分（第18页，共18页）因为是有界可测函数，在上是可积的…6分因为与相等，进一步，…8

6、分2．解：设，则易知当时，…………………………..2分又因，()，所以当时，………………4分从而使得…………………………………6分但是不等式右边的函数，在上是可积的，故有…………………………………8分五、1．设…………………………2分……………………………….3分…………..5分………………………………………………6分2．……….2分………………………………………….3分…………………………………………………………5分…………………………………………………….6分（第18页，共18页）3.对，，使对任意互不相交的有限个当时，有……

7、…………2分将等分，使，对，有，所以在上是有界变差函数……………………………….5分所以从而，因此，是上的有界变差函数…………………………………………………………..6分4、在上可积……2分据积分的绝对连续性，，有………………………………………………….4分对上述，从而，即…………………6分5．存在闭集在连续………………………………………………………………2分令，则在连续…………………………………………………………4分又对任意,…………………………………………….6分（第18页，共18页）故在连续…………………………..8分又所以

8、是上的可测函数，从而是上的可测函数………………………………………………………..10分试卷二：《实变函数》试卷二专业________班级_______姓名学号题号一二三四五总分得分注意事项1、本试卷共6页。2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号