曲面主方向和曲率线

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1、曲面的主方向和曲率线一曲面的主方向定义（主方向）：曲面上一点P的两个方向，如果它们既正交又共轭，则称为曲面在P点的主方向。结论1曲面上一点P的一个方向du:dv是主方向的充要条件是。证明：设（d）=du:dv是主方向，则存在另一个方向（δ）=δu:δv使（d）与（δ）既正交又共轭。（d）与正交d•δ=0Eduδu+F(duδv+dvδu)+Gdvδv=0①（d）与共轭d•=0Lduδu+M(duδv+dvδu)+Ndvδv=0②（d）=du:dv是主方向①②关于δu、δv有非零解即。结论2曲面上每一

2、点处至少有两个主方向。证明曲面上主方向满足的条件即(EM-FL)du2+(EN-GL)dudv+(FN-GM)dv2=0③其判别式Δ=[(EN-GL)-2(EM-FL)]2+(EM-FL)2≥0。Δ>0时，方程③总有两个不相等的实根，故曲面总有两个主方向。这两个主方向实际是曲面在这一点的杜邦指标线的主轴方向。Δ=0EN-GL=EM-FL=0。这时③是恒等式。故任何方向满足③，故任何方向是主方向。定义（脐点，圆点，平点）：曲面上使的点叫做曲面的脐点。L、M、N不全为零的脐点叫做圆点，L=M=N=0的点

3、叫做平点。容易证明，球面上的点都是圆点，平面上的点都是平点。二主方向的判定定理罗德里格（Rodrigues）定理：（d）是主方向。其中，是曲面沿（d）的法曲率。证明“”设（δ）是垂直于（d）另一个主方向，由=0可知，也在切平面上。所以与（δ）和（d）共面，可设=λ+µ，将该式两边点乘得：•=λ•+µ•。因（δ）与（d）共轭，所以•=0，因（δ）与（d）正交，所以•=0，所以µ•=0，所以µ=0，所以=λ。“”设方向（d）满足=λ，下面要证是主方向。设（δ）是垂直于（d）的一个方向，把=λ两边点乘得•

4、=0，这表明（δ）与（d）是共轭的。即（δ）与（d）不仅正交，而且共轭，所以它们都是主方向。把=λ两边点乘得•=λ2，所以λ=。证毕。三曲率线定义（曲率线）：曲面上的曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称其为曲率线。曲率线的微分方程：由主方向满足的充要条件知曲率线的微分方程是：四曲率网曲率线的微分方程确定了曲面上的两族曲率线，它们构成的曲线网叫做曲面上的曲率网。结论在不含脐点的曲面片上，经过参数的选择，可使曲率线网成为曲面的曲纹坐标网。证明因为曲面不含脐点，所以曲率线的微分方程的判别式Δ>0，所

5、以由曲率线的微分方程分解因式可得两族曲率线的方程：和，设（），（），（其中为积分因子）。因在曲面上每一点，两个主方向垂直，所以曲率线彼此不相切，所以行列式。即。引进为新的参数，则曲率线网，成为新的曲纹坐标网。说明实际上，从证明可看出，任何一个正规曲线网都可选为坐标网。命题5曲面上的曲纹坐标网是曲率线网F=M=0.证明因为曲纹坐标网是正交网F=0，曲纹坐标网是共轭网M=0。例3在旋转曲面上子午线和平行圆构成曲率线网。证明在前面曾经说明旋转曲面的曲纹坐标网是由子午线和平行圆构成。计算可得F=M=0，所以

6、曲纹坐标网即子午线和平行圆构成曲率线网。例5球面上每一点是圆点，平面上每一点是平点，因此球面上和平面上每一条曲线是曲率线。证明对球面计算可知，对平面计算可知L=M=N=0。所以两曲面上每一条曲线其上切方向都满足曲率线的微分方程，故为曲率线。