期末复习综合练习

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1、期末复习综合练习一、单项选择题1．一阶线性微分方程的积分因子是（）．　　A．B．C．D．正确答案：D2．方程过点的解的存在区间是（）．　　A．B．C．D．正确答案：B3．线性非齐次方程组的所有解（）．A．构成一个n维线性空间B．构成一个n+1维线性空间C．不是线性空间D．构成一个无穷维线性空间正确答案：C4．用特定系数法求方程的非齐次特解应设为（）．A．B．C．D．正确答案：B5．平面系统的奇点类型是（）．A．鞍点B．不稳定结点C．不稳定焦点D．稳定焦点正确答案：A6．方程的所有常数解是（）．A．B．C．D．正确答案：D7.方程的奇解（）．A．一个也没有B．有无数个C．只有一个D

2、．只有两个正确答案：A8．方程过点的解的存在区间是（）．　　A．B．6C．D．正确答案：B9．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（）．A．不是其对应齐次微分方程组的解B．是非齐次微分方程组的解C．是非齐次微分方程组的通解D．是其对应齐次微分方程组的解正确答案：D10．平面自治系统在相平面上的一条轨线，对应（）积分曲线．A．一条B．两条C．无穷多条D．三条正确答案：C二、填空题1．初值问题的解所满足的积分方程是．应该填写：（或）2．方程满足解的存在惟一性定理条件的区域是　　　　．应该填写：全平面3．二阶方程的等价方程组是．应该填写：4．二阶线性齐次微分方程的两个解为基本解组

3、的充要条件是这两个解．应该填写：线性无关5．纯量方程中，当时，其零解是稳定的．应该填写：渐进6．方程的所有常数解是_____________________________．应该填写：，，7．方程满足初值解的存在且惟一性的区域是　　　　．应该填写：满足的上半平面8．有界是保证方程初值解惟一的条件．应该填写：充分9．二阶方程的等价方程组是．6应该填写：10．平面系统的奇点类型是．应该填写：不稳定结点三、计算题求下列方程的通解或通积分：1.解当时，分离变量积分得，解得通解2．解齐次方程的通解为：设原方程的通解为代入原方程，得所以，原方程的通解为若用通解公式求解可参照给分．3．解因为，

4、所以原方程是全微分方程．取，原方程的通积分为即4.解克莱洛方程，通解为5．6解令代入方程，得即积分，得即于是原方程的通解为6．解当时，分离变量，得积分，得或通积分为7.解方程改写成齐次通解为令非齐次解为代入得原方程通解为8．解由于，所以原方程是全微分方程．取，原方程的通积分为即9．解原方程是克莱洛方程，通解为610．解原方程是恰当导数方程，可写成即分离变量解此方程，通积分为11．求方程的通解．解方程的特征根为，齐次方程的通解为因为不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为代入原方程，比较系数得确定出，原方程的通解为12．求下列方程组的通解．解特征方程为：即特征根为，对应特征向量应满足

5、可确定出同样可算出对应的特征向量为所以，原方程组的通解为：四、证明题（本题共15分）61．试证明：对任意及满足条件的，方程的满足条件的解在上存在．证明由于在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理条件．又显然是方程的两个特解．现任取，，记为过的解，那么这个解可以惟一地向平面的边界无限延展，又上不能穿越，下不能穿越，因此它的存在区间必为．2．证明：一阶微分方程的任一解的存在区间必是．证明方程在全平面上满足解的存在唯一性定理的条件，又是方程的常数解．对平面上任取的若则对应的是常数解其存在区间显然是若)则过该点的解可以向平面无穷远无限延展，但是上下又不能穿

6、越和，于是解的存在区间必是．6