第2章矩阵与矩阵的jordan标准形（详解）

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1、第2章矩阵与矩阵的Jordan标准形（详解）2-1解:仿教材例2.1.1-例2.1.42-2证：判断下面的两个矩阵与是否等价.容易求出这两个矩阵的不变因子均为相似.评注：数字矩阵的相似问题完全可以转化为矩阵的等价问题.2-3证：只需判断与是否等价.对于矩阵其不变因子为；对于矩阵其不变因子为.显然A与B不具有相同的不变因子，从而A不相似于B.2-4证：用反证法.假设可以对角化，于是存在可逆矩阵使得由于，所以即由此可知，故这表明，这与矛盾.2-5证：只要证明的每一个Jordan标准形为那么存在相似变换矩阵使得.因此于是有故必为一阶子块，即.所以与对角矩阵相似.2-6证:设的若当标准形为,由有,从而

2、都是一阶的,再利用矩阵的初等变换调整对角线上的元素,得证.2-7解:仿教材上的例题.2-8解:仿教材上的例题.2-9解：用两种方法求解此题.方法一相似变换矩阵的方法.对于任意一个可逆矩阵，矩阵均与矩阵相似，从而其Jordan标准形必为，于是任取两个不同的可逆矩阵，即可得到两个矩阵，.方法二矩阵秩的方法.设（或）的Jordan标准形为从而（或）的Smith标准形为由此可知（或）的行列式因子为这样的矩阵（或）有很多，取表达式较为简单的矩阵，下列任何一种矩阵都可以下面分析“*”处元素取何值时才能保证1为主对角元的Jordan块只有一个，以2为主对角元的Jordan块也只有一个.根据求矩阵Jordan

3、标准形的第二种方法（矩阵秩的方法），只要使或即可.例如均可以.但都不可以.2-10解(思路)设,其中是的若当标准形,则2-11解:的不变因子;由的初等因子以及的秩为写出的若当标准形.2-12解:仿教材例题.2-13解:仿教材例题.2-14解：因为故注：阶矩阵的秩为，不等价于可逆，这是与数字矩阵不相同之处.例如的秩为2，但是它不可逆.2-15解：的元素中有非零常数22-16解：的元素有公因子，所以额可以用初等变换把左上角元素变成然后用初等变换把公因子所在的行、列的其余元素均化为零.2-17解：的元素无公因子，也无常数元素.用初等变换把矩阵中某一个元素变成常数剩下的右下角的二阶矩阵有公因子，参照2

4、-16用的方法.有2-18解：的元素中有常数.剩下的二阶矩阵使元素既无公因子又无常数的矩阵，参照2-17的方法可把二阶矩阵初等变换化2-19解：虽然是对角形，但不是Smith标准形.2-20解：首先容易求出的不变因子于是的Smith标准形为对于准对角形矩阵为准对角形矩阵，则与的不变因子求得的不变因子，但是能从与的初等因子立即得到的初等因子.2-21解：方法一行列式因子易得为于是的不变因子为因而初等因子只有一个方法二对用初等变换求得不变因子为故初等因子为2-22解：将之第二行，第三行，，第行分别乘以都加第一行上去，得到其中易得故又于是所以因此之Smith标准形为2-23解：因为的初等因子乘积是7

5、次多项式，故是7阶的.2-24解：是5阶矩阵，答案有如下几种情况：的初等因子的不变因子的初等因子的不变因子的初等因子的不变因子的初等因子的不变因子的初等因子的不变因子的初等因子的不变因子2-25解：先求的初等因子.对运用初等变换可得的初等因子是故的标准形是2-26解：故存在，满足命把代入式得比较式两边得即在上述每个方程组中只要依次取一个解分别为，组成即可.易见是的特征值为1的两个线性无关的特征向量.解方程组可求得两个线性无关的特征向量若取，代入，该方程组无解，这时不能认为不存在.因为的特征子空间是二维的，即的线性无关特征向量不仅是.例如，只要满足的任意数，也是的线性无关特征向量.因此，若取，只

6、要使得方程组有解.不难知道当时，取代入方程组有解为取它的一个解，就可.于是容易验证有从以上两例可以概括出求标准形变换矩阵的过程.设的标准形为，则其中把变换矩阵按块的阶数进行相应的分块，即设其中，因此故比较上式两端得对再按列分块其中是个线性无关的维列向量，代入可得由第一个方程看到，列向量是矩阵的特征为所对的特征向量.且由继而可以求得.因此，长方形矩阵以至都可以求得.由前面例子中可以看到，特征向量的选取要保证可以求出，类似地的选取（因为的选定并不唯一，只要适当选取一个就可）也要保证可以求出，如此等等.2-27解：两种可能性.①初等因子，②初等因子（标准形略）.2-28解：A.若，则B．若，不妨设，

7、则反过来，可以借助，得出的阶数.由于，因此可以借助计算得到块的个数，阶数分析，继而可得的形状.2-29解：因此，块是4阶1块，即2-30解：命，则方程组可写为其中其中令得其中为任意常数.2-31解：先求的初等因子，然后求得的标准形设，且,即.于是不难求得故于是2-32证：由可知的特征值只可能是0，k.方法一：由得故秩+秩又秩+秩秩=秩=因此秩+秩若秩，则属于特征值为0的线性无关特征俩向量有个，的属