微积分下期末复习提纲

《微积分下期末复习提纲》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、微积分复习提纲一、微分1、会求多元函数的偏导数，进而会求函数的全微分或者梯度函数①多元显函数的偏导数，见P16例1---例3，P24习题1②多元抽象函数的偏导数，见P28例5---例7，P36习题3③高阶偏导数，见P19例8，P24习题2，P36习题4④复合函数的偏导数，见P26例1，例3，例4，P36习题1，22、会求由方程确定的隐函数的偏导数①“显”方程确定的隐函数求偏导数，（公式法），见P34例12，P36习题6，7②抽象方程确定的隐函数求偏导数，（直接法），见P34例13，P36习题8③由方程组确定的隐函数的导数，（直接法：在方程两

2、端同时对求导，求导过程中把都看做是的函数，然后解方程组即可），见P35例14，P37习题9④由方程组确定的隐函数的偏导数（直接法）见P37习题93、多元函数微分学的几何应用①空间曲线在点处的切线方程及法平面方程，见P46例1，例2，P50习题1、2②空间曲线在点处的切线方程及法平面方程见P46例3，P50习题2③曲面在点处的切平面方程与法线方程见P46例5，例6，P50习题34、方向导数与梯度二、积分1、二重积分的计算步骤：1）画出积分区域，2）根据积分区域选择适当的坐标系来计算此二重积分3）化二重积分为二次积分4）做两次定积分，计算此积分

3、的值注：多元函数对某个自变量积分的时候，要把其他的自变量看做常数。注：要会做改变二次积分的积分次序，并计算此二次积分的值这种题型，见半期考试试题2、三重积分的计算步骤：1）根据题意写出积分区域的边界曲面的方程2）根据积分区域选择适当的坐标系来计算此三重积分第7页3）化三重积分为三次定积分4）做三次定积分，计算此积分的值3、曲线积分的计算——化曲线积分为定积分1）第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）步骤：①写出积分弧段的参数方程，并确定参数的取值范围②根据的参数方程写出弧长元素③根据的参数方程化曲线积分为对参数的定积分2）第二类曲线积分（对坐标

4、的曲线积分）方法一：直接化为定积分步骤：①写出积分弧段的参数方程，并确定的起点和终点对应的参数值②根据的参数方程化曲线积分为对参数的定积分：方法二：利用曲线积分与路径无关及格林公式步骤：①找出，并求②若在一个单连通区域上恒成立，则曲线积分与路径无关，从而我们可以选择平行于坐标轴的折线段计算此曲线积分：如图选择折线段作为积分路径：第7页③利用方法一把这两个曲线积分，分别化为两个定积分即可求出，即④若在一个单连通区域上恒成立，则曲线积分与路径有关，可用格林公式求解⑤添补直线段BC:和CA:,则与BC，CA构成一条封闭的曲线，记此闭曲线围成的平面

5、有界闭区域为。如图所示：利用格林公式及第二类曲线积分的垂直投影性得：注：计算曲线积分的时候，一般先用方法一把曲线积分转化为定积分，当这个定积分不容易求解时，就改用方法二求解4、曲面积分的计算——化曲面积分为二重积分1)第一类曲面积分(对面积的曲面积分)步骤：①将积分曲面的方程改写为：；②画出积分曲面在面上的投影区域；第7页③根据积分曲面的方程写面积元素：④化曲面积分为二重积分：2)第二类曲面积分(对坐标的曲面积分)方法一：（直接化曲面积分为二重积分）步骤：①将积分曲面的方程改写为：，并指明此有向曲面取上侧还是下侧；②画出积分曲面在面上的投影

6、区域；③化曲面积分为二重积分：特别地，注：1）计算出此二重积分的值就为所求的曲面积分的值；2）若此二重积分不好计算或是积分曲面是由几个部分组成，分区面做积分比较麻烦的时候可以考虑利用高斯公式求解。方法二：利用高斯公式分情况讨论：ⅰ)若积分曲面是一个取外侧的封闭的曲面，且，，及其偏导数在此闭曲面围成的空间有界闭区域上连续，则由高斯公式有：ⅱ)若积分曲面不是封闭的曲面，则不能直接利用高斯公式，一般需要添补平面：，并指明所取的侧，使得与围成一个取外侧的闭曲面，记此闭曲面围成的空间有界闭区域为，从而：第7页（此处用到了第二类曲面积分的垂直投影性）5

7、、多元函数积分学的应用1）（用于求平面图形的面积）2）（用于求立体的体积）3）（用于求曲线的弧长）4）（用于求曲面的面积）5）物理应用一、无穷级数一）常数项级数1、正项级数的敛散性的判定步骤：1)做极限，若，则此级数发散；若，则2)2)根据一般项的形式选择适当的方法判断其敛散性。2、交错级数或的敛散性的判定莱布尼兹判别法：①找到②做极限，若，则此交错级数发散；若，则此交错级数收敛。3、判断一般项级数是否收敛，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：1）判断的敛散性，（注：是一个正项级数）第7页2）若收敛，则作结论：收敛，且绝对收敛。3）若发散，

8、则还要讨论本身的敛散性。一）幂级数1、求幂级数的收敛域。（先求收敛半径，再讨论端点处幂级数的敛散性）2、求幂级数的和函数。1）充分利用等比级数的求和公式及幂级数可用逐项求导或逐项