6c函数在某点取得极值的条件

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1、函数在某点取得极值的条件1、（2011•上城区）设y=f（x）在R上可导，则f′（x0）=0是y=f（x）在x=x0处取得极值的（　　）条件．A、充分不必要B、必要不充分C、充要D、既不充分也不必要考点：函数在某点取得极值的条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：常规题型．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行求解，y=f（x）在R上可导，举例子f（x）=x3题设和条件能否互推．解答：解：y=f（x）在R上可导，当f（x）=x3在x=0处的导数为0，但不取得极值．∴不充分，∴f（x）在x0处的导数f′（x）=0是

2、f（x）在x0处取得极值的必要不充分条件；故选B．点评：此题主要考查函数在某点取得极值的条件即方程f′（x）=0的根，解题的关键是要学会举反例．2、（2011•福建）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（　　）A、2B、3C、6D、9考点：函数在某点取得极值的条件；基本不等式．专题：计算题．分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．解答：解：∵f′（x）

3、=12x2-2ax-2b又因为在x=1处有极值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴ab≤(a+b2)2=9当且仅当a=b=3时取等号所以ab的最大值等于9故选D点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．3、（2007•江西）设函数f（x）是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f（x）在x=5处的切线的斜率为（　　）A、-15B、0C、15D、5考点：函数在某点取得极值的条件；函数奇偶性的性质；三角函数的周期性及其求法．分析：偶函数的图象关于y轴对称，x=0为极值点，f（x）

4、是R上以5为周期，x=5也是极值点，极值点处导数为零解答：解：∵f（x）是R上可导偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，∴f（x）在x=0处取得极值，即f′（0）=0，又∵f（x）的周期为5，∴f′（5）=0，即曲线y=f（x）在x=5处的切线的斜率0，故选项为B点评：本题考查函数的周期性、奇偶性、导数的几何意义、极值点满足的条件4、若函数f（x）=x2lnx（x＞0）的极值点为α，函数g（x）=xlnx2（x＞0）的极值点为β，则有（　　）A、α＞βB、α＜βC、α=βD、α与β的大小不确定考点：函数在某点取得极值的条

5、件．分析：利用积的导数法则求f′（x），g′（x）；据函数极值点处的导数为零，列出方程解得．解答：解：∵f′（x）=2xlnx+x，g′（x）=lnx2+2又f（x）=x2lnx（x＞0）的极值点为α，g（x）=xlnx2（x＞0）的极值点为β，∴2αlnα+α=0，lnβ2+2=0∴α=e-12，β=e-1∴α＞β故选A．点评：本题考查导数的运算法则和极值点处的导数为零．5、已知关于x的三次函数f(x)=13ax3+12bx2+2x+1在区间（1，2）上只有极大值，则b-a的取值范围是（　　）A、（-1，+∞）B、（-

6、2，+∞）C、（-3，+∞）D、（-4，+∞）考点：函数在某点取得极值的条件．分析：极大值是函数先增再减，相应导数是先增后负得不等式组再利用线性规划解解答：解：f′（x）=ax2+bx+2∵f(x)=13ax3+12bx2+2x+1在区间（1，2）上只有极大值∴{f′(1)＞0f′(2)＜0即{a+b+2＞04a+2b+2＜0∴-4＜b-a故选项为D点评：函数在某点处取极值的条件，利用线性规划求范围6、函数f(x)=13ax3+12ax2-2ax+2a+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（　　）A、a＞-316B

7、、-65＜a＜-316C、a＞-65D、-65≤a≤-316考点：函数在某点取得极值的条件．分析：求函数的极值，要使图象经过四个象限只要两极值符号不同解答：解：f′（x）=ax2+ax-2a=a（x+2）（x-1）令f′（x）=a（x+2）（x-1）=0得x=-2或x=1x∈（-∞，-2）时f′（x）的符号与x∈（-2，1）时f′（x）的符号相反，x∈（-2，1）时f′（x）的符号与x∈（1，+∞）时f′（x）的符号相反∴f（-2）=-83a+2a+4a+2a+1=163a+1和为极值，f（1）=13a+12a-2a+2

8、a+1=56a+1∵图象经过四个象限∴f（-2）•f（1）＜0即（163a+1）（56a+1）＜0解得-65＜a＜-316故答案为B点评：本题考查导数求函数的极值，眼睛函数的单调性及其图象7、已知函数f（x）=13x3-mx2-3m2x+1在区间（1，2）内有极值，则实数m的取值范围是（　　）A、（-2，-1）∪（1