高中数学（苏教版选修1-2）第3章 数系的扩充与复数的引入 章末复习提升3

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1、www.ks5u.com1．复数的概念(1)虚数单位i；(2)复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)；(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数．2．复数集3．复数的四则运算若两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)(1)加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i；(2)减法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i；(3)乘法：z1·z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i；(4)除法：＝＝＋i(z2≠0)；(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适

2、合于复数的情况；(6)特殊复数的运算：in(n为正整数)的周期性运算；(1±i)2＝±2i；若ω＝－±i，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.4．共轭复数与复数的模(1)若z＝a＋bi，则＝a－bi，z＋为实数，z－为纯虚数(b≠0)．(2)复数z＝a＋bi的模

3、z

4、＝，且z·＝

5、z

6、2＝a2＋b2.5．复数的几何形式(1)用点Z(a，b)表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)，用向量O表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)，Z称为z在复平面上的对应点，复数与复平面上的点一一对应(坐标原点对应实数0)．(2)任何一个复数z＝a

7、＋bi一一对应着复平面内一个点Z(a，b)，也一一对应着一个从原点出发的向量.6．复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z1、z2对应的向量、不共线，则复数z1＋z2是以、为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z1－z2是连接向量、的终点，并指向Z1的向量所对应的复数.题型一　分类讨论思想的应用当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论．分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当x＋yi没有说明x，y∈R时，也要分情况讨论．例1　已知复数z＝＋(a2

8、－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解　(1)当z为实数时，则有∴∴当a＝6时，z为实数．(2)当z为虚数时，则有∴∴a≠±1且a≠6，即当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．(3)当z为纯虚数时，则有∴∴不存在实数a，使z为纯虚数．跟踪演练1　当实数a为何值时，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i.(1)为实数；　(2)为纯虚数；(3)对应的点在第一象限内；(4)复数z对应的点在直线x－y＝0上．解　(1)z∈R⇔

9、a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2.(2)z为纯虚数，则即故a＝0.(3)z对应的点在第一象限，则∴∴a＜0，或a＞2.∴a的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．(4)依题设(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0，∴a＝2.题型二　数形结合思想的应用数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现．它们得以相互转化．涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等．例2　已知等腰梯形OABC的顶点A

10、、B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.解　设z＝x＋yi，x，y∈R，如图．∵OA∥BC，OC＝BA，∴kOA＝kBC，

11、zC

12、＝

13、zB－zA

14、，即解得或∵OA≠BC，∴x2＝－3，y2＝4(舍去)，故z＝－5.跟踪演练2　已知复数z1＝i(1－i)3.(1)求

15、z1

16、；(2)若

17、z

18、＝1，求

19、z－z1

20、的最大值．解　(1)

21、z1

22、＝

23、i(1－i)3

24、＝

25、i

26、·

27、1－i

28、3＝2.(2)如图所示，由

29、z

30、＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0,

31、0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2)．所以

32、z－z1

33、的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知

34、z－z1

35、max＝

36、z1

37、＋r(r为圆半径)＝2＋1.题型三　转化与化归思想的应用在求复数时，常设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，把复数z满足的条件转化为实数x，y满足的条件，即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要．例3　已知z是复数，z＋2i，均为实数，且(z＋ai)2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围．解　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i为

38、实数，∴y＝－2.又＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i为实数，∴x＝4.∴z＝4－2i，又∵(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i在第一象限．∴解得2