量子力学讲义第3章

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1、第三章量子体系的力学量本章讨论在量子力学中如何描述力学量的问题。它是量子力学的重点之一，对初学者而言，开始显得比较抽象，因此，应注意习题训练。3．1力学量的平均值公式力学量用算符表示~算符进入量子力学一、坐标的平均值测量值的平均值=∑测量值的可能值×几率（对连续情形∑→∫）分量：问题：能否用导出其他力学量的平均值？二、动量的平均值我们希望直接用写出（注意~不是的几率）。以x分量为例：将代入，有计算[…]有于是。27同理计算〈py〉，〈pz〉，结果有这就是直接用计算的公式。和之间不是力学量的值，而是算符（）~算符进入了量子力学

2、。三、动量算符与坐标算符→，四、力学量用算符表示~量子力学的基本假设之一力学量→算符常用的力学量算符（引导学生写出）：3．2算符的运算法则一、基本运算法则量子力学中的算符，表示对波函数的一种运算。例如：一般地，即，为算符（算符的基本运算请学生自学，重点讲算符的积~对易子）27算符的积：对任意波函数Ψ，若则为算符和的积~它是一种连续作用的运算，作用顺序一般不能交换：。例如：，。可见，即。一、算符的对易关系~在量子力学中具有重要作用引入对易子来反映算符是否对易：~对易；~不对易。基本对易子：对易子恒等式：，~雅可比恒等式。与的对

3、易关系：，重复下标求和（爱因斯坦求和）。0有重复下标。1“123”偶排列。~三阶反对称张量。-1“123”奇排列。与的对易关系：。之间的对易关系：。与的对易关系：证明例子（我们利用恒等式证明，其他方法自学教材）作业：习题3.1、1，4；习题3.2、1，2，3。27一、线性算符厄米算符与么正算符~量子力学特定要求下的算符定义内积：线性算符：逆算符：（若存在逆），有。转置算符：，，有。例子：求的转置算符。以上已利用了可实现条件。由于的任意性，有复共轭算符：。厄米共轭算符：，或，有。厄米算符：，或若，厄米，则厄米。（一般非厄米）证

4、（对易）。例子：证明是厄米算符。么正算符：性质~内积不变。证273．3厄米算符的本征值与本征函数力学量的可能取值与取值的几率分布的本征值方程：连续谱简并度d的本征值分立谱的属于f的本征函数混合谱非简并一、厄米算符的本征值与本征函数1、本征值为实数设的本征值为分立谱：由厄米算符的定义，。2、不同本征值的本征函数正交性函数正交的定义：正交。厄米：，，两式相减，由厄米性知，即在无简并情形下本征函数正交。考虑到归一化，有正交归一性：，（连续谱）。3、有简并的本征函数的正交性若…d~重简并；，…上述正交性的证明不成立。一般地，这些函数

5、并不一定相互正交。但总可以用个常数把这d个函数线性组合成d个新的函数：，27使这些新函数相互正交。我们不作一般讨论，用举例说明。例：教材P78习题3.3，2。解：令。令令。1、完备性含义：有一函数集。如果任一函数Ψ可按展开成，Cn与Ψn的自变量无关，则称的这种性质为完备性，或组成完备集。力学量的完备集：如果是厄米算符的正交归一本征函数集，则任一波函数Ψ可按展开（定义域和边条件相同）：对连续谱）。结论：厄米算符的本征函数组成正交归一完备集。Cn的计算：给定，已知。对连续谱。2、封闭性。。（有关证明请自学教材）作业：习题3.2、

6、4，5，6；习题3.3、1，3。27一、力学量的可能取值及取值的几率分布问题：力学量与算符的关系~可能值？可能值的几率？1、力学量的可能值设体系处于量子态Ψ，力学量F的取值一般有各种不同结果，f1,f2,……，其平均值为，各种可能值围绕涨落。涨落的定义为厄米厄米。一种特殊的状态：~本征值方程。量子力学基本假设之一：力学量F的所有可能值都是相应厄米算符的本征值。当体系处于的本征态时，所有可能值都是。2、可能值的分布Ψ按的正交归一完备本征函数集展开：。由叠加原理知，是体系出现在态的几率，而态中F有确定值fn是F取fn的几率，即取

7、fn的，Cn~几率幅。特别地，。一般地，。（引导学生自学教材P76的对照表和P77的例题2。）力学量的平均值小结~给出三个重要信息力学量的可能取值力学量取值的几率分布~都涉及到的本征函数系。273．4基本力学量算符的本征函数系一、的本征函数系（自学）二、的本征函数系（自学）1、求解2、归一化①归一化为δ-函数。②箱归一化。每个量子态在相空间中的体积为~（见教材中的证明）。三、的本征函数系~即求解定态S-方程。四、的本征函数系1、球系中的（具体推导见教材P85）。2、的本征函数系。为了保证的厄米性，要求波函数满足周期条件（使得

8、连续）：磁量子数。。273、的本征函数系，本征值。由数理方法知，上式为球函数方程，其解为~（2l+1）重简并。有限性要求，。由的归一化条件（归一化系数）。4、和的共同本征函数集易知也是的本征态，称为和的共同本征态（物理意义后面再讨论）：的前几项参见教材P430附录6。例题：教材P88、例2