量子力学讲义第4章

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1、第四章量子力学的表述形式（本章对初学者来讲是难点）表象：量子力学中态和力学量的具体表示形式。为了便于理解本章内容，我们先进行一下类比：矢量（欧几里德空间）量子力学的态（希尔伯特空间）基矢~三维本征函数~无限维任意矢展开任意态展开取不同坐标系取不同表象……….……….不同坐标之间可以进行变换不同表象之间可以进行变换由此可见，可以类似于矢量，将量子力学“几何化”→在矢量空间中建立它的一般形式。为此，我们将①引进量子力学的矢量空间~希尔伯特空间；②给出态和力学量算符在该空间的表示；③建立各种不同表示之间的变换关系。最

2、后介绍一个典型应用（谐振子的粒子数表象）和量子力学的三种绘景。4.1希尔伯特空间狄拉克符号狄拉克符号“”~类比：欧氏空间的矢量→坐标系中的分量……….希氏空间的态矢→表象下的表示……….42引入狄拉克符号的优点：①运算简洁；②勿需采用具体表象讨论。一、希尔伯特空间的矢量定义：希尔伯特空间是定义在复数域上的、完备的、线性内积空间，并且一般是无限维的。1、线性：①；②。2、完备性：。3、内积空间：引入与右矢空间相互共轭的左矢空间。定义内积：复数，。~归一化；正交；~正交归一；~连续谱的正交归一。二、量子体系的态用希

3、尔伯特空间的矢量表示（此属“符号问题”，仅作简要介绍，主要由学生自己通过练习来熟悉符号）1、态矢符合线性空间的要求：。2、任意态矢可用一组完备的基矢展开：。。3、态可以求内积：~以为基，其中。取的左矢：，有内积上式已利用了连续谱的正交归一性。三、希尔伯特空间的算符算符1、算符对左矢的作用：存在，其意义（定义）为。421、厄米共轭算符：，称，即。有（自证）。若则厄米算符。2、矢量的外积：内积~是一个复数，而外积~是一个线性算符（并矢）。作用于~（右）态矢；作用于~（左）态矢。3、取乘积的厄米共轭规则（反序）：例：

4、为厄米算符，试计算解：注意到，对于复数，“*”=“+”，故，。~这也可作为用狄拉克符号写出的厄米算符的定义。4、投影算符：作用于任意态矢的分量：。5、基矢的完备性（这是非常有用的性质）：由单位算符的定义：知对连续谱，有6、本征值方程：（分立谱）或（连续谱）。7、算符的自然展开式：可见，力学量算符由它的本征值谱和本征矢完全集完全确定。作业：习题4.1、1[原题有误，应为证（13）式和（16）式]，2，4，5。424.2态和力学量的表象表示(本节可主要由学生自学，只列出要点)在具体计算时，要取“坐标系”---表象。

5、取力学量（也可以代表一个力学量完全集）：以的正交归一本征态完备系为基矢，则称为-表象。一、态的表象表示-表象：基，本征值谱，有我们以分立谱为例讨论（请自学连续谱）。任意态：，,在-表象中的表示。（表示态与表示态完全等价）矩阵形式：。特别地，体系处于的本征态：。请同学们认真研究教材P136-139的各表，归纳态的表示的规律。二、算符的表象表示-表象：由即：为在-表象的表示（“投影”），为在-表象的表示（“投影”），为在-表象的表示（“投影”）。42矩阵形式：，或简写成。（注意，教材P141排版有误，见我在教材中的

6、注。）4.3量子力学公式的表象表示（我们以分立谱为例，主要讲要点和思路，具体细节可由学生自学。）一、归一化条件：-表象：。二、平均值：-表象：。三、本征值方程矩阵形式下本征值方程的求解（重点讲解）-表象：，记，即有。写成矩阵形式：，42这是关于的齐次线性方程组，具有非零解的条件是：久期方程即。求解方法：①由久期方程→；②代入方程组→；③由此得本征矢。例：（见教材P149）在（）的共同表象中，的矩阵表示为，求它的本征值和归一化本征矢。解：矩阵方程为设（1）令，有。42其久期方程为①将代入（1）式可得，即。由归一化

7、条件（取实数），。②将代入（1）式可得。③将代入（1）式可得。四、S-方程-表象：。作业：习题4.2、1，8；习题4.3、1，2，3。424.4表象变换问题：A-表象←→B表象一、表象变换是么正变换A-表象：B-表象：①考虑A→B：由→。。②这是保证本征矢正交归一性的必然要求：同理。③A-表象中的表示：由→可见是B-表象的基在A-表象的基上的投影。二、态矢的表象变换任意态矢，分别按A，B表象的基展开：42。考虑：即这就是由A→B的变换式。利用的么正性，有这就是由B→A的变换式。一、力学量算符的表象变换，注意到，

8、有，于是得A→B的变换式。利用的么正性，可得B→A的变换式。二、量子力学在么正变换下的不变性（我们只列结果，同学们自学证明）①内积不变；②算符方程形式不变；③力学量平均值不变；④本征值不变；⑤算符的迹不变。矩阵迹定义为对角元之和。三、通过么正变换求算符的本征值①在自身表象中，如在B-表象中，矩阵必为对角矩阵，其矩阵元为本征值：。所以，只要将变换到自身表象（使矩阵对角化）→本征值。42（