量子力学讲义第5、6章

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1、第二篇定态问题定态问题（本篇）量子力学处理的实际问题跃迁问题（第四篇）散射问题（第四篇）定态问题的任务--找出体系的稳定状态：对束缚态--求能级和波函数对非束缚态--求反射和透射几率第五章一维定态问题的严格解（着重物理分析，不细讲运算过程）方程：5.1一维方势阱束缚态一、阱外波函数的形式令，则方程为。满足有界条件的解为对无限深势阱，。二、阱内波函数的形式令，则方程为。有确定的宇称。53三、能级用连续条件定E,我们采用在连续的方法，这样可以自动消除待定系数。①偶宇称态的能级偶宇称态引入参数，同时联立求解,采用图解法（见教材P190）,交

2、点为解。。由图知，至少有一个解→至少有一个束缚态，偶宇称基态。②奇宇称态的能级同上方法，奇宇称态在一定条件下才出现奇宇称态。（归一化和有关讨论请同学们自学）5.2一维方势垒隧道效应一、的情况--非束缚态①易得（无反射波）由在x=0,x=a处连续，可得用A表示的C和（见教材P194）。②几率流密度入射波的几率流密度为53反射波的几率流密度为透射波的几率流密度为①反射和透射系数反射系数，透射系数。具体结果见教材P195。②讨论：在经典力学中，，粒子越过势垒而过，无反射；在量子力学中，，粒子存在反射的几率，且D+R=1--几率守恒；能量可以

3、取连续值，这是非束缚态粒子的特征。二、的情况①不必重新计算，只须做代换，即。（具体计算见教材）注意到隧道效应。②低能入射近似公式。对非方势垒，有。三、的情况下粒子在方势阱的运动（自学）四、量子隧道效应的实例（我们列出题目，请同学们自己查阅有关文献，如赵凯华的《量子物理》等）①α衰变；②热核聚变；③扫描遂道显微镜→纳米技术等（可自学教材，并根据教材所列的物理课题阅读有关文献，以了解量子力学的现代应用）。*5.3一维周期势场固体能带（不讲）只有量子理论才能对固体性质给出正确的解释和描述。作业：习题5.1、1，3，6；习题5.2、1。53第

4、六章三维定态问题的严格解方程：6.1氢原子与类氢原子（《原子物理》中已有初步讨论，着重讲要点）一、定态S-方程化二体问题为单体问题电子；核二体问题仿经典力学（太阳-行星运动）可把它转化成单体问题：相对位矢总质量质心坐标折合质量质心作自由运动电子相对于核运动（）。我们关心的是二、粒子在库仑场中的运动取力学量完全集，已知的共同本征函数53利用得到关于的方程。令。（束缚态），令，。数学上可解此方程（见教材附录7，略讲，重点放在物理上）：能量取分立值（否则波函数不满足有限性条件）--玻尔半径，缔合拉盖尔多项式（见教材）。径向波函数是归一化的，

5、前几项见教材P213。最终的波函数为，满足归一化要求：。三、解的物理意义531、能级：①氢原子的基态能，电离能。②③简并度：给定n→n个l→(2l+1)个m。简并的来由（与对称性有关）：对m的简并（与m无关），来源于球对称（几何对称~）；对l的简并（与l无关），来源于库仑场（动力学对称~）。对非有心力场，无简并；对非库仑场，对l无简并。例如，对碱金属中价电子而言，由于原子实的势场并非严格库仑场：。④巴耳末公式辐射光的频率：可由理论给出里德伯常数R，与实验符合得很好，微小的差异是未考虑自旋等。2、径向分布：。53电子在的球壳内出现的几率

6、为参见教材P216图：玻尔半径是最可几半径。3、角分布：参见教材P218图：“电子云”。4、电流分布：。5、氢原子的磁矩如图，将空间分成环绕极轴的、横截面积为、半径为的环形体元：。它对磁矩的贡献是环形电流与该电流所围面积的积：。处于态的氢原子的磁矩为：可见磁矩是量子化的。考虑到电子质量是质子质量的（电子质量），有--玻尔磁子。回转磁比率（“轨道”磁矩与“轨道”角动量之比）：。作业：习题6.1、3，4，6。536.2粒子在电磁场中的运动简单塞曼效应一、有电磁场情况下的S-方程（只讲要点，详细说明请同学们自学）由电动力学：量子力学：。取库

7、仑规范，S-方程可化简为二、简单（正常）塞曼效应（1896年）强磁场→原子光谱分裂取。由电动力学知，磁矩为m的磁偶极子在外场的势能为，与上式比较可得电子的磁矩为。取强磁场B～10特斯拉，（教材有误）中的第二项可以忽略，中的第三项也可以忽略，有显然是相互对易的守恒量，可取为力学量的完全集。以表示的本征值，为力学量完全集的共同本征函数。53可见加入磁场后，能级为。这表明，加入磁场后，对m的简并被消除，原来的能级分裂成(2l+1)个能级，相邻两能级的间隔为其中为玻尔磁子，为拉摩频率。由选择定则（第十一章11.3）知，简单（正常）塞曼效应，光

8、谱分裂成三条：。6.3朗道能级量子霍尔效应一、朗道能级与朗道波函数（二维）问题：带电粒子在均匀恒定强磁场中运动的能级（朗道能级）与波函数？取设。引入。这是线性谐振子的能量本征值方程，其角频率为，平衡位置为：称为朗道能级。