第11课时——函数的奇偶性（2）教师版

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1、听课随笔第十一课时函数的奇偶性（2）【学习导航】学习要求1．熟练掌握判断函数奇偶性的方法；2．熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质；3．能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题．【精典范例】一．函数的单调性和奇偶性结合性质推导：例1：已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)<0，试问：F(x)=在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论思维分析：根据函数单调性的定义，可以设x1－x2>0因

2、为y=f(x)在(0，+∞]上是增函数，且f(x)<0，所以f(－x2)f(x1)>0于是F(x1)－F(x2)=－所以F(x)=在(－∞，0)上是减函数。【证明】设，则，∵在上是增函数，∴，∵是奇函数，∴，，∴，∴，∴在上也是增函数．说明：一般情况下，若要证在区间上单调，就在区间上设．二．利用函数奇偶性求函数解析式：例2：已知是定义域为的奇函数，当x>0时，f(x)=x

3、x－2

4、，求x<0时，f(x)

5、的解析式．解：设x<0，则－x>0且满足表达式f(x)=x

6、x－2

7、所以f(－x)=－x

8、－x－2

9、=－x

10、x+2

11、又f(x)是奇函数，有f(－x)=－f(x)所以－f(x)=－x

12、x+2

13、所以f(x)=x

14、x+2

15、故当x<0时F(x)表达式为f(x)=x

16、x+2

17、.3：定义在（－2，2）上的奇函数在整个定义域上是减函数，若f(m－1)+f(2m－1)>0，求实数m的取值范围．解：因为f(m－1)+f(2m－1)>0所以f(m－1)>－f(2m－1)因为f(x)在(－2，2)上奇函数且为减函数所以f(m－1)>f(1－2m

18、)所以所以f(a2－a+1)D．与a的取值无关2.定义在上的奇函数，则常数０，０；3.函数是定义在上的奇函数，且为增函数，若，求实数a的范围。解：定义域是即又是奇函数在上是增函数即解之得故a的取值范围是思维点拔：一、函数奇偶性与函数单调性关系　　　若函数是偶函数，则该函数在关于＂０＂对称的区间上的单调性是相反的，且一般情况下

19、偶函数在定义域上不是单调函数；若函数是奇函数，则该函数在关于＂０＂对称区间上的点调性是相同的．追踪训练1．已知是偶函数，其图象与轴共有四个交点，则方程的所有实数解的和是　　　　　　（C）420不能确定2.定义在(－∞，+∞)上的函数满足f(－x)=f(x)且f(x)在(0，+∞)上，则不等式f(a)bC.

20、a

21、<

22、b

23、D.0≤ab≥03.是奇函数，它在区间（其中）上为增函数，则它在区间上（D）A.是减函数且有最大值B.是减函数且有最小值C.是增函数且有最小值D.是增函数且有

24、最大值4已知函数ax7+6x5+cx3+dx+8，且f(－5)=－15，则f(5)=31．5．定义在实数集上的函数f(x)，对任意，有且。（1）求证；（2）求证：是偶函数。解（1）令，则有（2）令，则有这说明是偶函数学生质疑教师释疑听课随笔【师生互动】