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《数学分析(2)期末试题集(计算题第二部分)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、广义积分问题1.计算.解被积函数有奇点,因而问题属暇积分,但易知,该暇积分收敛2.求的最大、最小值.解因为为偶函数,故只需求函数在上的最大、最小值.令,得为唯一驻点,且当时,,当时,.因此为极大值点,即最大值点,函数的最大值为,,又,因此最小值为0.3.讨论的收敛性(为常数)解当时,,发散.当时,,所以,当时,广义积分收敛;当时,广义积分发散(极限不存在).4.讨论广义积分的收敛性.解因为为暇点,于是,广义积分是混合型,应分别进行讨论.由于,而收敛,故收敛,由于,而收敛,故收敛,所以广义积分收敛.5.设为任意实数,讨论的收敛性.解因为为暇点,该广义积
2、分为混合型,.对于第一个积分,当时,与为同阶无穷大量,因此,当时,收敛(注意:当时,此积分为普通定积分)对于第二个积分,取比较对象.考虑极限,该极限只有在时才存在(等于零或),因此,当,即时,第二个积分收敛,而时,第二个积分显然发散.综上分析,原广义积分在时收敛,当或时发散.6.计算广义积分.解该广义积分为混合型积分,需分成两个积分进行计算.7.计算.解,所以,原积分.8.计算.解因为所以原式.9.求.解令,所以,故10.求.解令,则原式.11.求.解.12.求.解,令,则,所以,令,则.13.判别下列反常积分的收敛性:(1);(2);(3);(4)
3、;(5);(6);(7).解(1)根据,即可知,反常积分收敛;(2)注意当适当大时有,所以,反常积分收敛;(3)注意到,可知,被积函数在可延拓成为连续函数.而,所以,反常积分收敛;(4)只需注意到,可知反常积分收敛;(5)因为,故反常积分收敛;(6)因为,故,反常积分发散;(7)注意到,以及,所以,因而,当时,反常积分收敛,而当时,反常积分发散;14.判别下列积分的收敛性:(1);(2);(3).解(1)由于,所以.注意到上式中的第二项对应的反常积分是绝对收敛的,第一项在是收敛的,故收敛;(2)因为被积函数是负值,所以,只需看反常积分的收敛性,而从而
4、,即当时,反常积分收敛,时发散.(3)取,则,由Cauchy收敛准则知,反常积分发散.15.计算下列反常积分:(1);(2).(3).;(4);(5).解(1)因为所以原式.(2)令,所以,故(3)令,则原式.(4).(5),令,则,所以,令,则.16.判别下列反常积分的收敛性:(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7).解(1)根据,即可知,反常积分收敛;(2)注意当适当大时有,所以,反常积分收敛;(3)注意到,可知,被积函数在可延拓成为连续函数.而,所以,反常积分收敛;(4)只需注意到,可知反常积分收敛;(5)因为,故反常积分收敛;(
5、6)因为,故,反常积分发散;(7)注意到,以及,所以,因而,当时,反常积分收敛,而当时,反常积分发散;17.判别下列积分的收敛性:(1);(2);(3).解(1)由于,所以.注意到上式中的第二项对应的反常积分是绝对收敛的,第一项在是收敛的,故收敛;(2)因为被积函数是负值,所以,只需看反常积分的收敛性,而从而,即当时,反常积分收敛,时发散.(3)取,则,由Cauchy收敛准则知,反常积分发散.18.试判别下列积分的绝对收敛性:(1);(2);(3);(4)解(1)注意到不等式,根据比较判别法知,绝对收敛.(2)由,根据比较判别法知,绝对收敛.(3)应
6、用变量替换以及分部积分法,可得,注意到是绝对收敛的(用比较判别法易知),故绝对收敛.(4)因为,所以绝对收敛.19.试判别下列积分的收敛性:(1).(2).(3).(4).(5).解(1)应用Dirichlet判别法,因为的原函数有界,而在上单调递减趋于零,故收敛.(2)因为的原函数是为有界函数,而在上单调递减趋于零,故收敛.(3)令,则,我们有,而在上单调递减趋于零,且由,故的原函数是有界的,从而收敛.(4)用Taylor公式把被积函数写成根据Dirichlet判别法,积分,都收敛,而积分在即时是收敛的;在是发散的.综上所述,反常积分在时收敛,在时
7、发散.(5)对用Taylor公式,得注意到,而且及的原函数是有界的,因此积分都收敛,而是绝对收敛的,故反常积分收敛.数项级数问题1.设,判断级数的收敛性.解(1)当时,记,且,因此,当时,原级数绝对收敛,当时,原级数发散.当时,因为序列为单调递增趋于,所以,于是,所以,原级数必然发散.当时,原级数显然绝对收敛.综上分析,当时,原级数绝对收敛,当时,原级数发散.2.设参数,讨论级数的收敛性.解因为,所以,当,即为整数)时,级数绝对收敛;当,即时,级数发散;当,即时,级数条件收敛.3.设单调递减,且发散,试问是否收敛?解因为数列非负单调递减,所以极限存在
8、,记,由极限的保序性,则.由于交错级数发散,根据莱布尼茨判敛法知,故.由极限的性质,存在正整数,使当时,有,
