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1、数学分析精品课程系列讲座如何撰写数学分析论文(三)郎开禄(2010年4月7日)一类隐函数的极限与累次极限研究一选题背景选题背景1在毛羽辉编著:«数学分析选讲».科学出版社.2003.9.中有下列重要结论:定理1设在某邻域内连续,,,且存在,使得(1)(中值公式)则.证明由中值定理,存在,使得.故由(1)式,有.(2)又由中值定理,存在,使得.(3)故由(2)式和(3)式,得=.=.(4)于是,在(4)式中,令趋于,得选题背景2在刘玉琏傅仁沛编:«数学分析讲义»(上).高等教育出版社.1992.7.有下列重要结论:定理2设在某邻域内连续,,,
2、且存在,使得(5)(中值公式)19则.证明由中值定理,存在,使得.故由(5)式,有(6)又由中值定理,存在,使得.(7)故由(6)式和(7)式,得(8)于是,在(8)式中,令趋于,得.二选题背景启示在一函数中,有上述重要结论,在多元函数中,是否有上述相对应的重要结论呢?一般地,我们可考虑研究下列问题:问题1设在某邻域内有二阶连续偏导数,,,且存在,使得(中值公式)研究估计研究目标,.问题2设在某邻域内有阶连续偏导数,,且存在,使得19(中值公式)研究估计研究目标,.问题3设在某邻域内有阶连续偏导数,,,,且存在,使得+(中值公式)研究,其中
3、是的一个全排列.估计研究目标,,其中是的一个全排列.问题4设在某邻域内有阶连续偏导数,,,,且存在,使得19+(中值公式)研究,其中是的一个全排列.估计研究目标,,其中是的一个全排列.三选题完成的基本条件完成以上问题研究应具有以下五个基本条件(一)应掌握较坚实的数学分析多元函数偏导数和一元中值公式及多元中值公式的基本理论和基础知识.(二)应具有较好的思维、创造和判断能力.(三)应具有的坚强意志.四选材---搜集、整理、分析研究资料1.进一步搜集资料数学分析多元函数偏导数和一元函数中值公式、一元函数中值公式、多元函数中值公式、多元函数中值公式
4、.2.深入研读定理1和定理2的证明,找出获得定理1和定理2实质方法和关键步骤及关键细节.3.深入研读一元函数中值公式、一元函数中值公式、多元函数中值公式、多元函数中值公式.4.逐一研究上述四个问题.五写出初稿经仔细的深入研究,我们获得了一下四个结果:定理3设在某邻域内有二阶连续偏导数,,,且存在,使得(9)19(中值公式)则.推论1在定理3的假设下,若存在,则==.定理4设在某邻域内有阶连续偏导数,,且存在,使得(12)(中值公式)则.推论2在定理4的假设下,若存在,则=.我们有下面更一般的结果:定理5设在某邻域内有阶连续偏导数,,,,且存
5、在,使得+(中值公式)19则,其中是的一个全排列.推论3在定理5的假设下,若存在,则.其中是的一个全排列.定理6设在某邻域内有阶连续偏导数,,,,且存在,使得+(中值公式)则,其中是的一个全排列.推论4在定理5的假设下,若存在,则19,其中是的一个全排列.五修改加工定稿初稿写出后，经反复进行修改.获得论文.一类函数的极限与累次极限郎开禄(楚雄师范学院,云南楚雄675000)摘要在本文中,我们讨论了一类函数的极限与累次极限,得到了这类函数的极限与累次极限.关键词函数极限累次极限定理1设在某邻域内连续,,,且存在,使得(1)(中值公式)则.证明
6、由中值定理,存在,使得.故由(1)式,有.(2)又由中值定理,存在,使得.(3)故由(2)式和(3)式,得..(4)于是,在(4)式中,令趋于,得定理2设在某邻域内连续,,,且存在,使得(5)(中值公式)则.证明由中值定理,存在,使得19.故由(5)式,有(6)又由中值定理,存在,使得.(7)故由(6)式和(7)式,得(8)于是,在(8)式中,令趋于,得.引理若在某邻域内存在偏导数,,则存在,使得.定理3设在某邻域内有二阶连续偏导数,,,且存在,使得(9)(中值公式)则.证明由引理,存在,使得.存在,使得.故由(9)式,有.+(10)又由中
7、值定理,存在,使得.](11)19故由(10)式和(11)式,有[+]=]于是,在上式中,令趋于,再令趋于,或令趋于,再令趋于分别有,.推论1在定理3的假设下,若存在,则==.定理4设在某邻域内有阶连续偏导数,,且存在,使得(12)(中值公式)则.证明=(13)由引理,存在,使得.故,由(13)式我们有=++19于是,由(12)式我们有+又由中值定理,存在,使得于是,由上两式我们有=,即=.令,则有=,=.令,则有.同理,我们有.推论2在定理4的假设下,若存在,则19=.我们有下面更一般的结果:定理5设在某邻域内有阶连续偏导数,,,,且存在
8、,使得+(中值公式)则,其中是的一个全排列.推论3在定理5的假设下,若存在,则.其中是的一个全排列.定理6设在某邻域内有阶连续偏导数,,,,且存在,使得+(中值公式)则,其中是的
