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1、《数学分析》精品课程电子课件蚌埠学院数学与物理系实数完备性理论的一个重要作用就是证明闭区明闭区间上连续函数的性质，这些性质曾经在第三§4.2闭区间连续函数性质的证明经在第三章给出过.一、性质的证明二、一致连续性定理一、性质的证明定理1(有界性)若函数在闭区间连续,则函数在闭区间有界,即证法由已知条件得到函数在的每一点的某个邻域有界.要将函数在每一点的邻域有界扩充到在闭区间有界,可应用有限覆盖定理,从而能找到.证明:(应用有限覆盖定理证明)由连续函数的局部有界性:另一种证法采用致密性定理.设f(x)在[a,b]上无界,不妨设f(x)无上界.则存在故由归结原理可得矛盾.写方便,不妨假设{xn
2、}自身收敛,令因为{xn}有界,从而存在一个收敛的子列.为了书定理2(最值性)若函数在闭区间连续,则函数在取到最小值与最大值,即在上存在与,使且证法只给出取到最大值的证明.根据定理1,函数在有界.证明设,用反证法,假设显然,函数在连续,且.于是,函数在连续.根据定理1,存在有即不是数集的上确界,矛盾.于是定理3(零点定理)若函数在闭区间 连续，且(即异号),则在开区间内至少存在一点,使.证明因f(x)在[a,b]连续且,将[a,b]等分成两个区间[a,c],[c,b],若f(c)=0,已证.不然,函数f(x)在这两个区间中有一个区间端点上的值异号,将这个区间记为[a1,b1].再将[a1
3、,b1]等分成两个区间[a1,c1],[c1,b1],若f(c1)=0,已证.不然同样可知函数f(x)在其中个区间的端点上的值异号.将这个过程继续进行下去,得到一列闭子区间{[an,bn]},满足:由区间套定理,存在惟一的设在某一区间Ｉ连续,按照定义,也就是在区间Ｉ内每一点都连续。即对从连续定义不难看到,的大小，一方面与给定的有关；另一方面与点的位置也有关，也就是，当暂时固定时，因点位置的不同，的大小也在变化.二、一致连续性{{如图,当给定后,如在附近,函数图象变化比较“慢”,对应的较大;在点附近,函数图象变化比较“快”,对应的较小.一致连续的否定就是非一致连续,两者对比如下证(证法一)
4、首先用致密性定理来证明该定理.在设f(x)在[a,b]上不一致连续,即存在究(可列化方法).下述证明过程中,选子列的方法值得大家仔细探定理4(Cantor一致连续定理)若函数f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上一致连续.现分别取……因为{x'n}有界,从而由致密性定理,存在{x'n}的因为所以由极限的不等式性质连续,所以由归结原理得到矛盾.(证法二)再用有限覆盖定理来证明.以及f考虑开区间集那么H是[a,b]的一个开覆盖.由有限覆盖定理,因f(x)在[a,b]上连续,对任意一点存在有限个开区间对于任何那么必属于上述n个小区间中的一个,也覆盖了[a,b].所以由小区间的定义
5、得知这就证明了在[a,b]上的一致连续性.
