天津理工大学概率论与数理统计第五章习题答案详解

《天津理工大学概率论与数理统计第五章习题答案详解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第5章大数定律与中心极限定理一、填空题：1.设随机变量，方差，则由切比雪夫不等式有.2.设是n个相互独立同分布的随机变量，对于，写出所满足的切彼雪夫不等式，并估计.3.设随机变量相互独立且同分布,而且有,,令,则对任意给定的,由切比雪夫不等式直接可得.解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量满足：与都存在,则对任意给定的,有,或者由于随机变量相互独立且同分布,而且有所以4.设随机变量X满足：,则由切比雪夫不等式,有　　　　.解：切比雪夫不等式为：设随机变量X满足,则对任意的,有由此得　495、设随机变量，则.6、设为相互独立的随机变量序列，且服从参数为的泊松分布，则.7、设表示n次独

2、立重复试验中事件A出现的次数，是事件A在每次试验中出现的概率，则.8.设随机变量,服从二项分布,其中,那么,对于任一实数x,有0.9.设为随机变量序列,为常数,则依概率收敛于是指1,或0。10.设供电站电网有100盏电灯,夜晚每盏灯开灯的概率皆为0.8.假设每盏灯开关是相互独立的,若随机变量X为100盏灯中开着的灯数,则由切比雪夫不等式估计,X落在75至85之间的概率不小于　　　　.解：,于是二．计算题：1、在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立试验中，事件A发生的次数在450至550次之间的概率.解：设表示1000次独立试验中事件A发生

3、的次数，则492、一通信系统拥有50台相互独立起作用的交换机.在系统运行期间,每台交换机能清晰接受信号的概率为0.90.系统正常工作时,要求能清晰接受信号的交换机至少45台.求该通信系统能正常工作的概率.解：设X表示系统运行期间能清晰接受信号的交换机台数,则由此P(通信系统能正常工作)3、某微机系统有120个终端,每个终端有5%的时间在使用,若各终端使用与否是相互独立的,试求有不少于10个终端在使用的概率.解：某时刻所使用的终端数7由棣莫弗－拉普拉斯定理知4、某校共有4900个学生,已知每天晚上每个学生到阅览室去学习的概率为0.1,问阅览室要准备多少个座位,才能以99%的概率保证

4、每个去阅览室的学生都有座位.解：设去阅览室学习的人数为,要准备k个座位.　查分布表可得要准备539个座位,才能以99%的概率保证每个去阅览室学习的学生都有座位.495．随机地掷六颗骰子，试利用切比雪夫不等式估计：六颗骰子出现的点数总和不小于9且不超过33点的概率。解：设h表示六颗骰子出现的点数总和。xi，表示第i颗骰子出现的点数，i=1，2，…，6x1，x2，…，x6相互独立，显然6.设随机变量相互独立，且均服从指数分布为使，问：的最小值应如何？解:由切比雪夫不等式得即,从而n³2000，故n的最小值是20007．抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品，设

5、某批产品次品率为10%，问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9?49解：设n为至少应取的产品数，是其中的次品数，则，，而所以由中心极限定理知，当n充分大时，有，由查表得8．(1)一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为0.1，又知为使系统正常运行，至少必需要有85个元件工作，求系统的可靠程度(即正常运行的概率)；(2)上述系统假设有n个相互独立的元件组成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使系统正常运行，问n至少为多大时才能保证系统的可靠程度为0.95?解：(1)设表示正常工作的元件数，则，由中心极限定理可知(2)设

6、表示正常工作的元件数，则499．一部件包括10部分，每部分的长度是一随机变量，相互独立且具有同一分布，其数学期望为2mm，均方差为0.05mm，规定总长度为20±0.1mm时产品合格，试求产品合格的概率。已知：(0.6)=0.7257；(0.63)=0.7357。解：设每个部分的长度为Xi(i=1,2,…,10)E(Xi)=2=m,D(Xi)=s2=(0.05)2,依题意，得合格品的概率为10．计算机在进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算，设所有取整误差是相互独立的随机变量，并且都在区间[0.5，0.5]上服从均匀分布，求1200个数相加时误差总和的绝对值小于10的

7、概率。已知：(1)=0.8413；(2)=0.9772。解：设x1，x2，，xn表示取整误差,因它们在[0.5，0.5]上服从均匀分布，故有根据同分布的中心要极限定理，得=(1)(1)=2(1)1=2´0.84131=0.682611．将一枚硬币连掷100次，试用隶莫佛--拉普拉斯定理计算出现正面的次数大于60的概率。已知：(1)=0.8413；(2)=0.9772；当x>4,(x)=1。49解：设x为掷100次中出现正面的次数，它服从二项分布B(100，)这里由隶莫佛--拉普拉