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1、赛程安排的数学模型与分析1．前言n支球队在同一场地上进行单循环赛有多种赛程安排，问题是如何编制符合公平性的赛程，数学上这是一个满足一定指标要求的配对排序问题。本文在合理假设的基础上，由问题的数学实质，建立出问题的线性规划模型；由问题的特殊性将n分为偶数与奇数分别研究，获得关于各队每两场比赛之间相隔场次数上限的一般公式，用构造性方法加以证明；运用归纳的方法发现了这种特殊排序中的对称规律，由此设计出符合上限要求的计算机算法与实际人工编制法。文中对赛程优劣的评价指标也作了较多的探讨。本文一个特点是，分析研究迄今体育界实际使用的赛程“循环编制法”，发现其对n为奇数时编制的赛程公平性差，
2、给出了一种n为奇数时编制简便、结果合理的人工编制法。2．问题的提出你所在的年级有5个班，每班一支球队在同一块场地上进行单循环赛,共要进行10场比赛.如何安排赛程使对各队来说都尽量公平呢.下面是随便安排的一个赛程:记5支球队为A,B,C,D,E，在下表左半部分的右上三角的10个空格中,随手填上1,2,¼10,就得到一个赛程,即第1场A对B,第2场B对C,¼,第10场C对E.为方便起见将这些数字沿对角线对称地填入左下三角.这个赛程的公平性如何呢,不妨只看看各队每两场比赛中间得到的休整时间是否均等.表的右半部分是各队每两场比赛间相隔的场次数,显然这个赛程对A,E有利,对D则不公平.
3、ABCDE每两场比赛间相隔场次数AX19361,2,2B1X2580,2,2C92X7104,1,0D357X40,0,1E68104X1,1,1 从上面的例子出发讨论以下问题:1) 对于5支球队的比赛,给出一个各队每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程.2) 当n支球队比赛时,各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限是多少.3) 在达到2)的上限的条件下,给出n=8,n=9的赛程,并说明它们的编制过程.4) 除了每两场比赛间相隔场次数这一指标外,你还能给出哪些指标来衡量一个赛程的优劣,并说明3)中给出的赛程达到这些指标的程度.赛程安排直接影响比赛的公平
4、性，如何建立衡量一个赛程的优劣的指标，建立编制公平合理的排列问题的数学研究，也有数学意义。3．基本假设（1）设n支参赛队在同一场地上进行单循环赛。（2）假设赛程的公平性只与赛程安排有关，而与裁判等其它因素无关。（3）在假设（2）下赛程的公平性就是指各队每两场比赛中间得到休整时间均等性，其中“每队每两场比赛”限定为指“每队每相邻两场比赛”。（4）假设任相邻两场比赛之间间隔时间相同。4．建立模型4.1符号说明n参赛队数N比赛场数M赛程总共安排数j队与k队比赛场次序号数t队与j队及k队两场比赛间最小相隔场次数(I,j)第i队与第j队比赛e各队在全部赛程中间隔场次数d各队每两场比赛中间
5、相隔场次数的上限di第i赛程各队每两场比赛间相隔最小场次数4.2问题分析在假设（1）下，即n个队在同～场地进何单循环赛共有M=场比赛，有M=（）！种赛程安排，通常M是较大的数字。M种赛程中各队比赛间隔情况不同，因而对各队的比赛有影响。题目中4个问题相互联系，基本的题是赛程安排公平性及其编排法。赛程的公平性而对所有参赛队而言，同时问题（2）中“各队每两场比赛中间隔的场次数的上限”‘应指每个队都满足的间隔上限，其数学表达：d=maxdidi=mini=1,2,3,…..!j,k,t=1,2,3,…n4.3建模思想d的数学实质是一个最大值，因此可用一个线性规划模型来描述。具体考虑满足
6、上限d要求的赛程编排法，则由于问题的特殊性，可将n分为偶数与奇数分别考虑；当n=2k,我们建立一种称为‘循环规则”的赛程编制法,并得到d的公式，作出证明；当n=2k+1，建立一种称为“移位规则”的赛程编制法,并得到d的公式，作出证明；两种证明的思路方法一样，都属于“构造证明法”。最后将n为偶数与奇数的上限公式统一起来。4.4一般模型d=maxdidi=min5.模型求解5.1问题（1）的解表1ABCDE每两场比赛间相隔场次数总间隔场次数AX174102，2，26B1X9631，2，25C79X252，1，14D462X81，1，13E10358X1，2，14其中d=1,具体编排
7、法见下面问题3）解中n为奇数的方法。5.2问题（2）的解当参赛队n=2k或2k-1(k=3,4,5…),各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限为d=,n=5,6,7….当n=8时：见表2表2A1A2A3A4A5A6A7A8每两场比赛间相隔场次数总间隔场次数A1X125521917133，3，3，3，3，318A21X162026611234，4，4，3，2，219A32516X212192274，4，3，2，2，217A45202X152427102，4，4，4，3，219A521261215
