赛程安排数学建模

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1、题目赛程安排摘要比赛一定要具有公平性，公平性又涉及到各个队出场的先后次序，对于对抗激烈，消耗体力大的竞技比赛，比赛间的休整尤其重要，休整时间的长短对参赛队的竞技水平的发挥有大的影响。本文主要研究赛程安排问题，通过建立数学模型来研究。对于问题一，题目要求对于5支球队的比赛，给出一个各队至少每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程。通过分析这个题目，可以采用穷举法，即将可能出现的结果一一列举，但按照此方法会造成结果的遗漏。因此在解决本题过程中，在确定上限的前提下，然后采用计算机编制的方法将结果全部列出。其中的一种结果见下表（表

2、1）。对于问题二，首先是对问题的理解：竞赛排序的方法有多种，而每一种方法都有一个最小的各队两场比赛中间的间隔，在这里认为这个上限为所有排序方法中最小的各队每两场比赛间隔场次数目的最小值。然后用轮转法排出一个例子然后由一般到全部得出结论并对结论的存在性和最优性进行证明。当为偶数时可以直接利用轮转法并得到如下结论：结论1：当时，各队每两场比赛间隔场次数的上限为当为技奇数时我们将假设有第个队转化为偶数个队求解，得到如下结论：结论2：对于问题三，在问题二解决的基础上，直接令，代入问题二求解运用的方法便可得到它们的赛程安排。对

3、于问题四，首先题目要求，分析可能会影响赛程优劣的因素。通过分析发现平均相隔场次数也可以影响赛程的优劣。令为第队第个间隔场次数，（）。所以平均相隔场次数为，越大越好关键词：轮转法最优性存在性13一、问题重述1.1背景分析众所周知在竞技比赛中公平性是至关重要的。公平性表现在很多方面，例如参赛队出场的先后次序，比赛的休整情况。对于对抗激励，消耗体力大的竞技比赛，比赛间的休整尤其重要，休整时间的长短对参赛队竞技水平的发挥有很大的影响，因此一个很好的赛程安排应该使每个队在比赛期间的修整时间尽可能均等。为此我们研究以下问题。[1

4、]1.2需要解决的问题假设你所在的年级有5个班，每班一支球队在场地进行单循环比赛，共要进行场比赛，如何安排赛程使各队来说都尽量公平？下面是随便安排的一个赛程：记5支球队为在下表左半部分的又上三角的个小空格中，随手写上，就得到一个赛程，即第1场，第2场，…，第10场，为方便起见将这些数据沿对角线对称地填入左下三角。这个赛程的公平性如何呢，不妨只看看各队每两场比赛中间得到的休整是否均等。表的右半部分是各队每两场比赛间相隔的场次数，显然这个赛程对有利，对不公平。ABCDE每两场比赛间相隔场次数AX19361,2,2B1X2

5、580,2,2C92X7104,1,0D357X40,0,1E68104X1,1,1从上面的例子出发讨论以下问题：1）对于5支球队的比赛，给出一个各队每两场比赛中间都至少相隔场的赛程。2）当支球队比赛时，各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限是多少。3）在达到2）的条件下，给出的赛程，并说明它们的编制过程。4）除了每两场比赛间相隔次数这一指标外，你还能给出哪些指标来衡量一个赛程的优劣，并说明3）中给出的赛程达到这些指标的程度。二、模型假设1)假设每场比赛都能够正常进行即不存在意外情况；2)假设每场比赛时间相同；3)假设

6、比赛而公平性只与赛程的安排有关，而与其他因素无关；4)假设每一段比赛时间内各队实力基本稳定；13三、符号说明为了方便问题的求解，我们给出以下符号说明:各队每两场比赛中间相隔的场次数上限第队第个间隔场次数各队每两场比赛中间平均相隔场次数最大偏差最小间隔场次数比赛总场次数一、问题分析2.1对于问题一的分析:对于第一问题目要求对于5只球队的比赛，给出一个各队至少每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程。在解决这个题目的过程中首先可能会想到穷举法，即逐一列举出来。这样做会造成结果不全面，会造成遗漏，而且非常复杂，给题目解决造成了很

7、大的困难。因此对解决此题过程中，首先确定赛程安排的上下限，即上限为2场。然后采用计算机或者手工编制的方法来完成。2.2对于问题二的分析:对于要求求出球队比赛是的上下限，竞赛排序的方法有多种，而每一种方法都有一个最小的各队两场比赛中间的间隔，在这里认为这个上限为所有排序方法中最小的各队每两场比赛间隔场次数目的最小值（对于本题中我们的求解是否满足我们对问题的理解在模型的检验中给出证明）。在解决这个问题时我们用轮转法来进行求解：在单循环赛中各队普遍出现一次，称为“一轮”。每两个队之间的比赛一次成为“一次”。在知道球队总数的

8、情况下可以求出比赛的总场数：次数=，当有个队参加比赛时，比赛场次数为，轮换一次成为一轮。这时就要对的奇偶性分两种情况进行讨论。当为偶数时，一轮正好两两两对赛，需要打场比赛。，每轮比赛中的；当为奇数时为了方便解决问题，假设存在一个虚拟的队伍第个队参与到单循环赛中，进而将为奇数的情形转化为为偶数的情况罗列出赛程序列，然后将含有第个队伍参加的比赛从赛