2.3 等差数列的前n项和(二) 学案(人教a版必修5)

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1、2.3　等差数列的前n项和(二)自主学习知识梳理1．前n项和Sn与an之间的关系对任意数列{an}，Sn是前n项和，Sn与an的关系可以表示为an＝2．等差数列前n项和公式Sn＝____________＝____________.3．等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中当a1>0，d<0时，Sn有________值，使Sn取到最值的n可由不等式组____________确定；当a1<0，d>0时，Sn有________值，使Sn取到最值的n可由不等式组____________确定．(2)因为Sn＝n2

2、＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有____________值；当d<0时，Sn有________值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．4．一个有用的结论：若Sn＝an2＋bn，则数列{an}是等差数列．反之亦然．自主探究在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最值．对点讲练知识点一　已知前n项和Sn，求an例1　已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2－3n，求通项公式an.总结　已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1

3、，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示．变式训练1　已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋b，求an.知识点二　等差数列前n项和最值问题例2　在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值．总结　在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于Sn为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．变式训练2　等差数

4、列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？知识点三　已知{an}为等差数列，求{

5、an

6、}的前n项和例3　已知等差数列{an}中，记Sn是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{

7、an

8、}的前n项和Tn.总结　等差数列{an}前n项的绝对值之和，由绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和．变式训练3　数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn＝

9、

10、a1

11、＋

12、a2

13、＋…＋

14、an

15、，求Sn.1．公式an＝Sn－Sn－1并非对所有的n∈N*都成立，而只对n≥2的正整数才成立．由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．2．求等差数列前n项和的最值(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．(2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．3

16、．求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点.课时作业一、选择题1．设数列{an}是等差数列，且a2＝－8，a15＝5，Sn是数列{an}的前n项和，则(　　)A．S9

17、，下列不等式成立的是(　　)A．Sn>na1>nanB．Sn>nan>na1C．na1>Sn>nanD．nan>Sn>na15．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是(　　)A．d<0B．a7＝0C．S9>S5D．S6与S7均为Sn的最大值题　号12345答　案二、填空题6．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－n(n∈N*)，则通项an＝________.7．等差数列{an}中，

18、a3

19、＝

20、a9

21、，公差d<0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是___

22、___．8．在等差数列{an}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n＝________.三、解答题9．已知f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7(1)设f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：{an}为等差数列；(2)设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成{bn}，求{bn}的前n项和．10．设等差数列{an}的前n项和为