高等数学中极限的研究和应用

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1、高等数学中极限的研究和应用　　一、极限的种类及其定义　　1.数列极限。假设{an}为一个数列，若对于任意给定的正数ε，总存在一个正整数N，使得当n>N时，总是有

2、an-a

3、N1，然后再对

4、an-a

5、N2。取N=max{N1，N2}，则当n>N是，会有

6、an-a

7、0，都存在一个大于或等于a的正数M，使得当M　　3.一元函数极限。设函数f在x0的空心邻域U0有定义，A是一个固定的数，如果对于任意给定的正数ε，存在δ使当0　　函数f趋向于的x0左极限等于右极限，则其趋向于x0的极限存在，且其极限值等于左极限或右极限值。假如其左极限值不等于右极限值，

8、则其极限不存在。　　二、极限在微积分中的应用　　1.极限对连续函数的作用。在画图的时候，我们定义连续函数为一笔画完，但是函数图形得来不容易，对其语言描述都不如用极限的定义式表达得简明形象limf=f，在连续函数中用极限来表示其定义，就会将其函数在某点连续的结果以及条件简明地表达出来。从某点出发并对其连续性进行研究，两点确定一条直线，由这一点我们可以利用极限来研究线的特征，从而得出导数的概念。　　2.极限在导数中的作用。导数是由莱布尼茨和牛顿在研究几何学和力学问题时产生的。牛顿用路程和时间两者各自的改变量之比来表示平均速度。对两者都无限地趋近于

9、0的比取极限，从而就会得到瞬时速度，由此引出导数概念。　　设函数y=f在x0附近有定义，函数改变量相对于自变量的改变量△x为△y=f-f，如果lim=lim存在，则就称其为函数f在x0处的导数，记作f`。导数的定义源于对实际问题的研究，函数在某点的导数即为其在该点处切线的斜率，当最终返回实际问题时可以研究其极值与最值、单调性、凹凸性，从而得出函数的图形，为我们解决实际问题有一定的方向。　　3.极限在积分中的作用。通过利用极限来研究线，我们也可以用其来研究面，积分学中的一个重要概念就是定积分，是从实际问题中抽象出来的。当在求总成本、总产量、空间

10、立体的体积、平面图形的面积时，虽然其实际意义不同，但是对其求解的方法和思路都是相同的。例如求曲边梯形的面积时采取以均代不均，以直代曲的极限思路。这些极限的和就是其定积分。对这个问题的结局步骤分为四步：第一步是分割，在区间内插入尽可能多的分店，将其分为各个小的部分；第二步就是用常量代替变量；第三步是对那些各个小部分求和；最后一步就是取极限。其中取极限是最关键的一步。由此就会得到定积分的定义，在闭区间[a，b]上，定积分的定义是∫fdx=lim∑△xi。定义是为我们理解定积分的几何意义及其思想奠定了基础，但是在应用的过程中我们不经常使用定积分的定

11、义式，而是采用微积分基本公式∫fdx=F-F，和F都是f的原函数）。利用三维坐标体系可以表示空间中的各种物体，解决“体”的问题，可以通过解决每个维度上的极限来进行。同样利用“分割、求和、取极限”的思想将物体先分为各个小部分的曲顶柱体，然后对其各个小部分的体积进行求和，最后对其求极限，让分割时所求出的体积与原物体的体积更加接近，即我们所说的重积分。