高等数学中极限的研究和应用

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1、高等数学中极限的研究和应用高等数学中极限的研究和应用　　一、极限的种类及其定义　　1.数列极限。假设{an}为一个数列，若对于任意给定的正数ε，总存在一个正整数N，使得当n>N时，总是有

2、an-a

3、<ε，则我们称数列an收敛于a，记作an→a或liman=a（n→∞），也称数列an的极限是a。在数列极限定义中，ε是预先给定的常数，N是根据ε而求出来的，故有时会记作N=N（ε）。ε具有二重性，既具有固定性，又具有任意性，固定性

4、是指ε是一个固定的很小的正数，任意性是指ε可以随意小。当ε具有固定性可确定数列逼近的程度，具有任意小的性质则可以刻画出数列逼近的无限性。ε和N的关系：ε越小则N越大，且N不是唯一的，因为它是由

5、an-a

6、<ε决定的，由于ε具有任意性，则N不唯一。故找到一个存在的N特别重要，一旦N的值确定了，则n就是比N大的任意自然数。打算找到N很不容易，可以通过适当放大法和分步法来找到N。适当放大法就是当

7、an-a

8、<ε较复杂时，得出n很不

9、方便，此时，可以将

10、an-a

11、<ε放大，成为

12、an-a

13、<A1<A2<<Ε的形式，然后再通过化简讨论极限的证明问题就比较简单了；而分步法是为方便解题，对N做一些限制，从而使

14、AN-A

15、<Ε化简容易，此时一般都是假定N>N1（N1是常数），然后再对

16、an-a

17、<H（N）进行放大，通过解HN<Ε，得出N>N2。取N=max{N1，N2}，则当n>N是，会有

18、an-a

19、<ε。　　2.函数极限。设f是定义在区间[a，+&

20、infin;）上的函数，A是一个常数，如果对于任意给定的正数ε>0，都存在一个大于或等于a的正数M，使得当M<X时有

21、F（X）-A

22、<Ε，则我们就称当X趋于正无穷时，函数F的极限为A，记作LIMF（X）=A或F（X）→A，（X→∞）；函数极限与数列极限的定义很相似自然变量的变化趋势相同，只是形态有所不同，数列极限中自然变量的形态为N，而函数极限中自然变量的形态为X。N的取值是一切正整数，而X的取值是在一定的区间[A，+∞）内；N的增长是离散型的，而x的增长是连续型的。数

23、列极限中的证明，正整数N是关键，而函数极限f（x）→A（x→∞）中的证明，正数M是关键。有时在证明的过程中，函数的极限可能不存在，此时可以利用反证法对其进行证明，既可将复杂的问题简单化，又可以加深对极限定义的理解。=""<br="">　　3.一元函数极限。设函数f（x）在x0的空心邻域U0（x0；δ）有定义，A是一个固定的数，如果对于任意给定的正数ε，存在δ（0<δ<δ）使当0<

24、x-x0

25、<δ时有

26、f（x）-A

27、<

28、;δ，那么我们就称当x趋于x0时，函数f的极限为A，记作limf（x）=A或f（x）→A（x→x0）。　　函数极限是在数列极限的基础上发展起来本文由.L.收集整理的，当函数的自变量取自然数时，则就是数列极限。数列极限和函数极限的自变量都是ε，数列极限的因变量是N，而函数极限的因变量是δ。函数极限中的因变量δ由ε决定，其变化方向是一致的，当ε变小时δ也越来越小。函数极限研究的是当x趋向于正无穷、负无穷、特定数x0及从左和右两个方向趋向于x0时，其值的

29、变化趋势。而数列极限研究的是n趋向于无穷时数列的变化趋势。　　4.左、右函数极限。设函数f在x0的某个空心邻域U+0（x0；δ）（U-0（x0；δ））有定义，A是一个固定的数。如果对于任意给定的正数ε，存在一个数δ（0<δ<δ），使得当x0<X<X0+Δ（X0-Δ<X<X0）时，存在

30、F（X）-A

31、<X，则我们就说当函数由右（左）趋向于X0时，其极限是A，我们也称A是其右（左）极限。记作LINF（X）=A（LIMF（X）=

32、A）。<br=""