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1、第4课时 空间向量的坐标表示 教学过程一、问题情境问题1 空间向量基本定理是什么?问题2 我们如何选择基底?空间向量如何用坐标表示?二、数学建构(图1)问题3 如图1,在房间(立体空间)内如何确定电灯位置?[1]问题4 确定点在直线上,通过数轴需要一个数;确定点在平面内,通过平面直角坐标系需要两个数.那么,要确定点在空间内,应该需要几个数呢?问题5 如何用一组实数来表示电灯的位置?解 通过类比联想,容易知道需要三个数.在地面上建立直角坐标系xOy,则地面上任一点的位置只需两个数x,y就可确定.为了确定不在地面上的电灯的位置,需要用第三个数表示物体离地面的高度,即需第三个数z.因此,只要知道电
2、灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可.例如,若这个电灯在平面xOy上的射影的两个数分别为4和5,到地面的距离为3,则可以用有序数组(4,5,3)确定这个电灯的位置(如图2).(图2)问题6 如何用坐标表示空间向量呢?能表示所有的空间向量吗?1.空间向量的坐标表示(图3)如图3,在空间直角坐标系O-xyz中,分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i,j,k作为基向量,对于空间任意一个向量a,根据空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记作a=(x,y,z).2.在空间直角坐标系
3、O-xyz中,对于空间任意一点A(x,y,z),向量是确定的,容易得到=xi+yj+zk,因此,向量的坐标为=(x,y,z).这就是说,当空间向量a的起点移至坐标原点时,其终点的坐标就是向量a的坐标.3.空间向量坐标运算法则(1)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3),λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R;(2)若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).(例1)4.空间向量平行的坐标表示a∥b(a≠0)⇔b1=λa1,b2=λ
4、a2,b3=λa3(λ∈R).三、数学运用【例1】 如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,DB的中点,G在棱CD上,且CG=CD,H是C1G的中点.以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,求向量和的坐标.(见学生用书P55)[处理建议] 求向量的坐标应先求出向量的起点和终点的坐标.[规范板书] 解 由已知可得E,F,C1(0,1,1),G.∵H是C1G的中点,∴H.故=,=.[题后反思] 求向量的坐标,应先建立恰当的空间直角坐标系,然后得到起点和终点的坐标,最后得出向量的坐标.【例2】 (教材第90页例1)已知a
5、=(1,-3,8),b=(3,10,-4),求a+b,a-b,3a.(见学生用书P56)[处理建议] 引导学生根据空间向量的坐标表示及运算法则解题.[规范板书] 解 a+b=(1,-3,8)+(3,10,-4)=(1+3,-3+10,8-4)=(4,7,4).a-b=(1,-3,8)-(3,10,-4)=(1-3,-3-10,8+4)=(-2,-13,12).3a=3×(1,-3,8)=(3,-9,24).[题后反思] 空间向量的坐标运算,需要准确、熟练,为后续学习奠定基础.【例3】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点,试建立适当的空间直角
6、坐标系,求证:平面MNP∥平面A1BD.(见学生用书P56)[处理建议] 先建立适当的直角坐标系,再寻求相关空间向量的坐标,从而确定它们之间的关系,以算代证.(例3)[规范板书] 证明 如图,以D1为坐标原点,D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则A1(1,0,0),B(1,1,1),D(0,0,1),N,M,P0,,0,于是=(0,1,1),=(-1,0,1),=,=,显然有=,=,所以∥,∥.又因为MN⊂平面MNP,A1D⊄平面MNP,所以A1D∥平面MNP.同理A1B∥平面MNP.又因为A1D∩A1B=A1,所以平面MNP∥
7、平面A1BD.[题后反思] 同平面向量的坐标法解题一样,关键是如何建立适当的直角坐标系,从而运用代数的方法论证,体现了空间向量的基本思想.当然本题不用坐标法而用向量的方法也不难证明.四、课堂练习1.已知点A(2,3,4),B(1,3,5),则=(-1,0,1).2.若向量a=(1,-2,2),b=(3,1,-1),c=(-1,0,4),则2a+b-2c=(7,-3,-5).3.已知{i,j,k}为空间的一个单
