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《16.立体几何中的距离问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、[中国高考数学母题一千题](第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)立体几何中的距离问题立体几何中距离的统一定义空间中的距离有:两点距离、点到直线距离、点到平面距离、线线距离、线面距离和面面距离等,其中两点间的距离是最根本的,由此可得距离的统一定义:设P,Q分别是两个几何图形(可以是点、线、面、平面图形和几何体),则P与Q“距离”的最小值叫做这两个几何图形的“距离”.[母题结构]:理解距离的统一定义.[解题程序]:理解距离的统一定义有三个方面:一是掌握各种距离的统一性质,即“最小性质”;二是理解各种距离之间的关系,尤其是大小关系;三是把
2、握各种距离之间的相互转化.1.两点之间的距离子题类型Ⅰ:(2009年全国Ⅰ高考试题)已知二面角α-l-β为600,动点P、Q分别在面α、β内,P到β的距离为,Q到α的距离为2,则P、Q两点之间距离的最小值为()(A)(B)2(C)2(D)4[解析]:如图,分别作QA⊥α于A,AC⊥l于C,PB⊥b于B,PD⊥l于D,则∠ACQ=∠PBD=600,AQ=2,BP=AC=PD=2;又由QA⊥αQA⊥APPQ=≥AQ=2,当点A与点P重合时,PQ取最小值2.故选(C).[点评]:求两点间的距离的关键是以这两点为顶点构造三角形求解,其中,把题中的条件进行直观呈现是构造三角形的基础,三
3、垂线定理是构造直角三角形的有力手段.2.点到直线的距离子题类型Ⅱ:(2010年复旦大学保送生考试试题)设ABC-A1B1C1是正三棱柱,底面边长和高都是1,P是侧面ABB1A1的中心点,则P到侧面ACC1A1的对角线的距离是()(A)(B)(C)(D)[解析]:由AC1=,PA=,取A1B1的中点Q,则C1Q⊥PQPC1=1△PAC1边AC1上的高=.故选(C).[点评]:求点到直线距离的方法有二:一是过点作直线的垂线,构造直角三角形直接求解;二是以这一点和直线上的两点为顶点构造三角形,通过求三角形的高间接求解.3.距离的最小性质子题类型Ⅲ:(1990年第一届“希望杯”全国数
4、学邀请赛高一试题)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为对角线上A1D的一点,Q为对角线上B1D1的一点,则线段PQ的长度的最小值是.[解析]:(法一)作PM⊥AA1于M,QN⊥A1B1于N,设PM=x,QN=y,则PQ2=(x-y)2+x2+(1-y)2≥PQ≥;(法二)因异面直线A1D和B1D1上两点距离的最小值是两异面直线A1D和B1D1的距离=.[点评]:由距离的统一定义知,立体几何中的各种距离均具有“最小性质”,取点并选择恰当的变量,利用两点距离的最小值,可以求各种距离;反之,利用各种距离的“最小性质”,也可以求两点距离的最小值.4.子题系列:1.(2
5、006年浙江高考试题)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是()(A)2(B)(C)(D)2.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)有两块直角三角板,一块三角板的两条直角边的长分别是1,;另一块三角板的两条直角边的长分别是,.这两块三角板有两对顶点重合,且成900的二面角,则不重合的两个顶点的距离等于.3.(2003年复旦大学保送生考试试题)边长为4的正方形ABCD沿BD折成600的二面角,则BC中点与A的距离是多少？4.(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)已知正方体ABCD-A1B1C1D
6、1的棱长为1,点A关于直线BD1、A1C的对称点分别为P、Q,则P、Q间距离等于()(A)(B)(C)(D)05.(2006年天津高考试题)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1.若二面角C-B-C1的大小为600,则点C1到直线AB的距离为.6.(1997年第八届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)矩形ABCD中,AB=4,BC=3,PA⊥平面ABCD,PA=1,则P点到BD的距离等于.7.(2002年安徽春招试题)正方形ABCD的边长是2,E、F分别是AB和CD的中点,将正方形沿EF折成直二面角(如图所示),M为矩形AEFD内的一点,如果ÐMBE=ÐMBC,MB和
7、平面BCF所成角的正切值为,那么点M到直线EF的距离为.8.(2007年陕西高考文科试题)已知P为平面α外一点,直线lα,点Q∈l,记点P到平面α的距离为a,点P到直线l的距离为b,点P、Q之间的距离为c,则()(A)a≤b≤c(B)c≤a≤b(C)a≤c≤b(D)b≤c≤a9.(2007年陕西高考理科试题)已知平面α∥平面β,直线mα,直线nβ,点A∈m,点B∈n,记点A,B之间的距离为a,点A到直线n的距离为b,直线m和n的距离为c,则()(A)b≤c≤a(B)a≤c≤b(C)c≤a≤b(D)c≤b
