立体几何中的距离问题(叶小兵)

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1、距离问题一．点到平面的距离(如图1)：1.向量法：平面α的法向量为n，点P是平面α外一点，点M为平面α内任意一点，则点P到平面α的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.2.直接法：确定垂足的位置3.等体积法：同一个三棱锥，从不同的角度选择底和高计算体积并加以比较即可。二．异面直线的距离(如图2)：1.向量法：设向量n与两异面直线a、b都垂直，M∈a、P∈b，则两异面直线a、b间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=2.定义：关键确定公垂线段（2）转化为直线和平面间距离（过a而与b平行的平面）（3）转化为平面间距离（4）极值法三．线到平面的距离(如

2、图3)：平面α∥直线l，平面α的法向量为n，点M∈α、P∈l，平面α与直线l间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.(4)平面到平面的距离(如图4)：平面α∥β，平面α的法向量为n，点M∈α、P∈β，平面α与平面β的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.［例2］正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离.命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目.知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得.错解分析：本题容易错误认为O1B是A1C与A

3、B1的距离，这主要是对异面直线定义不熟悉，异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的距离.技巧与方法：求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得.解法一：如图，连结AC1，在正方体AC1中，∵A1C1∥AC,∴A1C1∥平面AB1C，∴A1C1与平面AB1C间的距离等于异面直线A1C1与AB1间的距离.连结B1D1、BD，设B1D1∩A1C1=O1,BD∩AC=O∵AC⊥BD，AC⊥DD1，∴AC⊥平面BB1D1D∴平面AB1C⊥平面BB1D1D，连结B1O，则平面AB1C∩平面BB1D

4、1D=B1O作O1G⊥B1O于G，则O1G⊥平面AB1C∴O1G为直线A1C1与平面AB1C间的距离，即为异面直线A1C1与AB1间的距离.在Rt△OO1B1中，∵O1B1=，OO1=1，∴OB1==∴O1G=，即异面直线A1C1与AB1间距离为.解法二：如图，在A1C上任取一点M，作MN⊥AB1于N，作MR⊥A1B1于R，连结RN，∵平面A1B1C1D1⊥平面A1ABB1，∴MR⊥平面A1ABB1，MR⊥AB1∵AB1⊥RN，设A1R=x,则RB1=1－x∵∠C1A1B1=∠AB1A1=45°，∴MR=x,RN=NB1=(0＜x＜1∴当x=时，MN有最小值

5、即异面直线A1C1与AB1距离为.二、典型例题例1：如图5，已知正方体的棱长为1，求异面直线与的距离。练习：如图5，已知正方体的棱长为1，求面对角线与体对角线的距离。