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《对2011年高考湖南卷理科第16题的研究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、对2011年高考湖南卷理科第16题的研究高考题(2011·湖南·理·16)对于N，将表示为,当时，,当时,为0或1.记为上述表示中为0的个数（例如：,故,)，则(1)____；(2)___.解2,1093.因为，所以.记，比如127=(1,1,1,1,1,1,1).对于任意的，设，得这种表示法中：有0个0的有个(1,2,3,…,7位数各1个)，即的有7个；有1个0的有个(1,2,3,…,7位数分别为0,1,2,…,6个)，即的有个；有2个0的有个(2,3,4,…,7位数分别为个)，即的有个；有3个0的有个(3,4
2、,5,6,7位数分别为个)，即的有个；有4个0的有个(4,5,6,7位数分别为个)，即的有个；有5个0的有个(5,6,7位数分别为个)，即的有个；有6个0的有个，即的有个.所以.这是一道以“二进制”(可见普通高中课程标准实验教科书《数学3·必修·A版》(人民教育出版社2007年第3版)第40-44页)为背景的题目：任意正整数均可表示成(其中N,)，也可记作，都叫的二进制表示的数码.下面对此题作些研究.变式1当正整数取遍1,2,3,…,127(注意)时，的二进制表示的数码中含1个1，2个1，3个1，…，7个1的正整
3、数分别有多少个？解由正整数的二进制表示知，，可把唯一的表示成七位二进制数码，即.二进制数码表示与二进制表示的不同在于前者开头可以是连续的若干个0，而后者的首位数码是1.所以，的二进制表示的数码中1的个数与的二进制数码表示的数码中1的个数一样.由此得：当正整数取遍1,2,3,…,127时，的二进制表示的数码中含1个1，2个1，3个1，…，7个1的正整数分别有个.变式2当正整数取遍1,2,3,…,127(注意)时，的二进制表示的数码中含0个0，1个0，2个0，…，6个0的正整数分别有多少个？解在正整数的二进制表示中首
4、位数码一定是1，而后的数码是0或1，所以可让与一一对应，而前者数码中1的个数比后者0的个数多1，所以“当正整数取遍1,2,3,…,127时，的二进制表示的数码中含1个1，2个1，3个1，…，7个1的正整数的个数”分别就是“当正整数取遍1,2,3,…,127时，的二进制表示的数码中含0个0，1个0，2个0，…，6个0的正整数的个数”，即分别有个.变式3当正整数取遍1,2,3,…,242(注意)时，的三进制表示的数码中含0个1，1个1，2个1，3个1，4个1，5个1的正整数分别有多少个？解由正整数的三进制表示知，，可
5、把唯一的表示成五位,三进制数码，即.三进制数码表示与三进制表示的不同在于前者开头可以是连续的若干个0，而后者的首位数码是1或2.所以，的三进制表示的数码中1的个数与的三进制数码表示的数码中1的个数一样.由此得：当正整数取遍1,2,3,…,127时，的3进制表示的数码中含0个1，1个1，2个1，3个1，…，7个1的正整数分别有个.变式4当正整数取遍1,2,3,…,242(注意)时，的三进制表示的数码中含0个2，1个2，2个2，3个2，4个2，5个2的正整数分别有多少个？解分别有个.变式5当正整数取遍1,2,3,…,
6、(其中)时，的三进制表示的数码中含0个0，1个0，2个0，…，个0的正整数分别有多少个？解含有个0的正整数有个.可用错位相减法求得：当时，答案分别为.
