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1、人口预测模型研究论文人口预测模型研究论文人口预测模型研究论文 人口问题不仅是20世纪我国所面临的最重大的问题之一，而且在新世纪中将继续存在。无论是对我国目前经济发展状况的认识，还是对未来经济发展的预测，人口问题的研究都具有十分重要的意义。 众所周知，人口的增长并不是按比例线性增长的，也就是说人口问题是非线性动力学问题。在非线性系统中，可能会出现分岔现象，分岔理论为我们研究人口问题提供了一种新的方法。分岔和混沌是非线性系统特有的现象，而实际上我们所处的社会经济系统中的绝大部分都是非线性，因此可以运用分岔和混沌理
2、论来研究。本文将分岔和混沌理论用以研究人口问题，提出了人口的跨临界分岔。 一、模型的建立 设在时刻t时的人口数量为p(t)，则人口的增长率为，再假设出生率b(p,t)和死亡率d(p,t)不随时间变化，则由马尔萨斯人口理论可得： 附图 其中：d[,1]=b(p,t)-d(p,t)＞0，一般而言出生率大于死亡率。 显然马尔萨斯模型存在着重大的缺陷，它没有考虑到物种之间的竞争、自然界的平衡和人文环境因素，即生活资料及空间的局限、人与人的竞争、生产力水平、文化水平以及传统观念等因素。 生活资料及空间的局限和人
3、与人的竞争会导致冲突，对人口的增长起到制约的作用。统计规律显示，从人口p(t)中随机抽取一个人，他与其他人冲突的概率与人口总数成正比，即：冲突次数＝k[,1]p(t)，那么个人冲突的总次数为。而制约作用也是随着总次数的增长而增长的，同总次数成正比，以δ[,1](p,t)表示制约作用，则 附图 可以认为影响作用与生产力发展水平α[,2]成反比，与文化发展水平α[,3]成反比，与中国传统观念α[,4]成正比，与人口数量p(t)成正比，用δ[,2](p,t)表示这种影响，则： 附图 假设在未来的若干年内，各地区
4、的人口比例保持不变，则对于某个地区来说，机械迁徙的人口数量与该地区经济发达程度α[,5]成正比，与迁出区的人口数量成正比，由于可以近似地认为各地区的人口比例不变，所以可以认为与该地区的人口数量成正比，则： 附图 二、模型分析 附图 运用稳定性分析方法，可以很容易地判断其稳定性。 附图 图中，实线表示稳定，虚线表示不稳定。由分岔图可以看出该模型发生跨临界分岔。由分岔图可以看出，在α的某个领域内，当α＞0时，人口数量是稳定增长的；而当α＜0时，从α系数的物理含义上看，说明死亡率大于其他影响因素系数之和，但
5、是此时由于先前α＞0，人口数量已经有所增加，所以能保持人口数量的稳定，同时我们也可以看出只有短期内保持α＜0，人口数量才会稳定。 将再分岔出周期8解、16解等等，大约在时，进入混沌区，如图2所示。 三、模型的求解 设初始时刻t[,0]的人口为p[,0]，将(5)式分离变量后两边取定积分，进行求解可得： 附图 只要求出α和β，就可以运用(9)式作人口预测。理论上，只要将两年的年份与人口数量，即：t[,1]、P(t[,1])、t[,2]、P(t[,2])代入(9)式，则可得一个二元方程组，通过求解此二元方程
6、组，便可以得到α和β值，但是此二元方程组为超越方程组，求解十分困难。 生态学家通过大量的统计，认为不鼓励也不限制生育时的α值为，将α代入(9)式则可求得：，可以看出β会随着所代入的t的不同而变化，不再是一个常数，而是一个变量；另一方面，我国实行计划生育，限制了出生率，并且模型(5)中考虑了生活资料和空间的局限性、人与人的竞争、生产力水平、文化水平以及中国传统观念等因素的影响，因此α的值不再是。 基于上述原因，本文采用数值解法，即：确定适当的α和β，使得： 附图 其中：p[,i]是第i年的人口数量。则 附
7、图 根据(11)式求解十分复杂，可以用Matlab或c语言编写一段程序，在一定范围内搜索α与β值，使得(10)式成立。 四、实证分析 本文就河北省1952年～2000年人口数量进行实证分析和检验。众所周知，在建国后近50年中，我国经历了3年自然灾害，80年代开始实行了计划生育政策，这些都会改变动力系统的特征，因此不能将这49年的数据看成是同一动力系统的，而应该将它们分成不同的动力系统：1952年～1959年、1966年～1979年、1980年～1989年、1990年～2000年。3年自然灾害造成了人口数量的
8、骤减，不仅改变了动力系统的特征，而且还造成了1960年～1965年数据的不稳定，应予以剔除；80年代后实行计划生育，但是1989年的学潮引起了大量人口的机械迁移，因此90年代视为另一个动力系统。 表1数据计算和检验 附图 由表1可以看出，使用本文所提出的方法，能够较为精确地预测出人口的数量。四个阶段的α均大于，这表明生活资料和空间的局限性、人与人的竞争、生产力水平、
