2018版高中数学（人教a版）必修5同步教师用书：必修5 第2章 2.5 第1课时　等比数列的前n项和

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1、2．5　等比数列的前n项和第1课时　等比数列的前n项和1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点)2．会用错位相减法求数列的和．(难点)3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题．[基础·初探]教材整理　等比数列的前n项和阅读教材P55～P57第12行，完成下列问题．等比数列的前n项和公式1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为________．【解析】　∵a5＝a1q4，∴q＝±2.∵q>0，∴q＝2，∴S7＝＝＝127.【答案】　1272．在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝______

2、__.【解析】　∵S3＝＝＝26，∴q2＋q－12＝0，∴q＝3或－4.【答案】　3或－43．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1＝___________________.【解析】　由S5＝＝44，得a1＝4.【答案】　44．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________.【解析】　由8a2＋a5＝0，得＝－8，即q3＝－8，所以q＝－2.＝＝＝－11.【答案】　－11[小组合作型]等比数列的前n项和公式的基本运算　在等比数列{an}中，(1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；(2)若a3＝，S3＝，求a1和公比q

3、.【精彩点拨】　利用等比数列的前n项和公式及通项公式，列出方程组求相应各个量．【自主解答】　(1)法一：由Sn＝，an＝a1qn－1以及已知条件得∴a1·2n＝192，∴2n＝，∴189＝a1(2n－1)＝a1，∴a1＝3.又∵2n－1＝＝32，∴n＝6.法二：由公式Sn＝及条件得189＝，解得a1＝3，又由an＝a1·qn－1，得96＝3·2n－1，解得n＝6.(2)①当q≠1时，S3＝＝，又a3＝a1·q2＝，∴a1(1＋q＋q2)＝，即(1＋q＋q2)＝，解得q＝－(q＝1舍去)，∴a1＝6.②当q＝1时，S3＝3a1，∴a1＝.综上得或1．在等比数列{an}的五个

4、量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．2．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．[再练一题]1．在等比数列{an}中，(1)若q＝2，S4＝1，求S8；(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5.【解】　(1)法一：设首项为a1，∵q＝2，S4＝1，∴＝1，即a1＝，∴S8＝＝＝17.法二：∵S4＝＝1，且q＝2，∴S8＝＝(1＋q4)＝S4·(1＋q4)＝1×(1＋24)＝17.(2)设公比为q，由通项公式及已知条

5、件得即∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝，即q＝，∴a1＝8，∴a4＝a1q3＝8×3＝1，S5＝＝＝.等比数列前n项和公式的实际应用　借贷10000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)【精彩点拨】　解决等额还贷问题关键要明白以下两点：(1)所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．(2)从还贷之月起，每月还贷金

6、额是构成等比数列还是等差数列，首项是什么，公比或公差是多少．【自主解答】　法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，则a0＝10000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，…a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.由题意，可知a6＝0，即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，a＝.∵1.016≈1.061，∴a＝≈1739.故每月应支付1739元．法二：一方面，借款10000元，将此借款以相同的条件存储6个

7、月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝＝a[1.016－1]×102(元)．由S1＝S2，得a＝.以下解法同法一，得a≈1739，故每月应支付1739元．解数列应用题的具体方法步骤：(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意准确弄清项数是