义务教育2018-版高中数学（人教a版）必修5同步教师用书：必修5第2章2.5第2课时　等比数列前n项和的性质及应用

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1、第2课时　等比数列前n项和的性质及应用1．掌握等比数列前n项和的性质的应用．(重点)2．掌握等差数列与等比数列的综合应用．(重点)3．能用分组转化方法求数列的和．(重点、易错点)[基础·初探]教材整理　等比数列前n项和的性质阅读教材P57第13行～P58，完成下列问题．等比数列前n项和的性质性质一：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是等比数列．性质二：若数列{an}是公比为q的等比数列，则①在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则＝q.②Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．1．下列说法正确的是________．(填序号)(

2、1)等比数列{an}共2n项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q＝2.(2)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1－1，则a＝1.(3)若数列{an}为等比数列，则a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列．(4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列．【解析】　(1)错误．因为由等比数列前n项和的性质＝q，得q＝＝.(2)错误．因为由Sn＝＝－qn＋知在Sn＝a·3n－1－1＝·3n－1中＝1，故a＝3.(3)正确．因为a3＋a4＝q2(a1＋a2)，a5＋a6＝q4(a1＋a2)，所以a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比

3、数列．(4)错误．因为在等比数列中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，故S3，S6－S3，S9－S6成等比数列．【答案】　(3)2．已知等比数列{an}的公比q＝，则＝________.【解析】　∵q＝＝＝＝，∴＝＝3.【答案】　33．等比数列{an}的前5项和S5＝10，前10项和S10＝50，则它的前15项和S15＝________.【解析】　由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，故(S10－S5)2＝S5(S15－S10)，即(50－10)2＝10(S15－50)，解得S15＝210.【答案】　210[小组合作型]等比数列前n项和性质的应用

4、　(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为(　　)A．28　　B．32　　C．21　　D．28或－21(2)等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________.【精彩点拨】　(1)由S2，S4－S2，S6－S4成等比数列求解．(2)利用＝q，及S2n＝S奇＋S偶求解．【自主解答】　(1)∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7,91－S4成等比数列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝

5、(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，∴S4＝28.(2)设S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79.则＝q＝3即S1＝3S2.又S1＋S2＝S80＝32，∴S1＝32，解得S1＝24.即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24.【答案】　(1)A　(2)241．在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时，常考虑其差或比进行简化运算．若项数为2n，则＝q(S奇≠0)；若项数为2n＋1，则＝q(S偶≠0)．2．等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(q≠－1)．3．若Sn表示数列{an}的前n项和，且

6、Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0且q≠1)，则数列{an}成等比数列．[再练一题]1．(1)等比数列{an}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.(2)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝________.【解析】　(1)根据题意得∴∴q＝＝＝2.(2)设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2,14－x，y－14成等比数列，所以所以或(舍去)，所以S4n＝30.【答案】　(1)2　(2)30分组求和法　已知数列{an}构成一个新数列：a1，(a2－a1)，…，(an－an－1)，…此数列是首项为1

7、，公比为的等比数列．(1)求数列{an}的通项；(2)求数列{an}的前n项和Sn.【精彩点拨】　通过观察，不难发现，新数列的前n项和恰为an，这样即可将问题转化为首项为1，公比为的等比数列的前n项和，数列{an}的通项公式求出后，计算其前n项和Sn就容易多了．【自主解答】　(1)an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋＋2＋…＋n－1＝.(2)Sn＝a1＋a2＋a3＋…an＝＋＋…＋＝n