2016-2017学年人教a版选修2-1 1.4.3含有一个量词的命题的否定学案

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1、1．4.3　含有一个量词的命题的否定观察下列命题：(1)被7整除的整数是奇数；(2)有的函数是偶函数；(3)至少有一个三角形没有外接圆．问题1：命题(1)的否定是“被7整除的整数不是奇数”，对吗？提示：不对．这是一个省略了量词“所有的”的全称命题．它的否定为：被7整除的整数不都是奇数，即存在一个被7整除的整数不是奇数．问题2：命题(2)的否定是“有的函数不是偶函数”，对吗？提示：不对．应为：不存在函数是偶函数，即每一个函数都不是偶函数．问题3：判断命题(3)的否定的真假．提示：命题(3)的否定：所有的三角形都有外接圆，是真命题．含有一个

2、量词的命题的否定全称命题的否定[例1]　判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)任何一个平行四边形的对边都平行；(4)负数的平方是正数．[思路点拨]　先判断命题的真假，再写出命题的否定．[精解详析]　(1)是全称命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形且它的内角和不等于180°.(2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是全称命题且为真命题．命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行．(4

3、)是全称命题且为真命题．命题的否定：某个负数的平方不是正数．[一点通]　(1)全称命题的否定为特称命题．p：∀x∈M，p(x)成立⇒綈p：∃x0∈M，綈p(x0)成立．(2)命题p的否定为“非p”，二者真假性相反．当一个命题的真假不易判断时，可以通过“非p”的真假判断．1．命题“∀x∈R,3x2－2x＋1>0”的否定是________．解析：“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，有綈p(x0)”．∴其否定为∃x0∈R,3x－2x0＋1≤0.答案：∃x0∈R,3x－2x0＋1≤02．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)任何一个素

4、数是奇数．(2)所有的矩形都是平行四边形．(3)∀a，b∈R，a2＋b2>0.(4)被5整除的整数，末位数字是0.解：(1)是全称命题，其否定为存在一个素数，它不是奇数．因为2是素数，而不是奇数，所以其否定是真命题．(2)是全称命题，其否定为存在一个矩形，它不是平行四边形．它是假命题．(3)是全称命题，其否定为∃a，b∈R，a2＋b2≤0.它是真命题．(4)是全称命题，其否定为存在被5整除的整数，末位不是0.因为15能被5整除，其末位为5，所以是真命题．特称命题的否定[例2]　写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假：(1)有些实数的

5、绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x0∈R，x＋1<0；(4)∃x0，y0∈Z，使得x0＋y0＝3.[思路点拨]　写命题的否定时注意更换量词并否定结论．[精解详析]　(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定是“不存在x0∈R，使x＋1<0”，即“∀x∈R，x2＋1≥0”．x2＋1≥1≥0，因此命题的否定是真命题．(4)命题

6、的否定是“∀x，y∈Z，x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．[一点通]　(1)特称命题的否定是全称命题，特称命题“∃x0∈M，p(x0)”的否定为对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是“∀x∈M，綈p(x)”．(2)要证明特称命题是真命题，只需要找到使p(x0)成立的条件即可．3．命题“∃x0∈R，x－x＋1>0”的否定是(　　)A．∀x∈R，x3－x2＋1<0B．∃x0∈R，x－x＋1≤0C．∃x0∈R，x－x＋1<0D．∀x∈R，x3－x2＋1≤0解析：特称命题的否定是全称命题，x3－x2＋1

7、>0的否定是x3－x2＋1≤0，故D正确．答案：D4．写出下列特称命题的否定，并判断其真假．(1)p：∃x0＞1，使x－2x0－3＝0；(2)p：若an＝－2n＋10，则∃n0∈N*，Sn0＜0；(3)p：∃x0∈R，x0＞2；(4)p：∃x0∈R，x＜0.解：(1)綈p：∀x＞1，x2－2x－3≠0.(假)(2)綈p：若an＝－2n＋10，则∀n∈N*，Sn≥0.(假)(3)綈p：∀x∈R，有x≤2.(假)(4)綈p：∀x∈R，x2≥0.(真)根据全称命题的概念求参数的范围　　[例3]　若命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥

8、a”是真命题，求实数a的取值范围．[思路点拨]　因为此命题是全称命题，所以应满足在所给条件下恒成立．令f(x)＝x2－2ax＋2，只需当x∈[－1，＋∞)时，f(x)min≥a成立，可以利用一元二次不等式与