高考第一轮复习数学：6.6不等式的应用

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1、6.6不等式的应用●知识梳理1.运用不等式求一些最值问题.用a+b≥2求最小值；用ab≤（）2≤求最大值.2.某些函数的单调性的判定或证明也就是不等式的证明.3.求函数的定义域，往往直接归纳为解不等式（组）.4.三角、数列、立体几何和解析几何中的最值都与不等式有密切联系.5.利用不等式可以解决一些实际应用题.●点击双基1.已知函数f（x）=log（x2－ax+3a）在［2，+∞）上是减函数，则实数a的范围是A.（－∞，4］B.（－4，4］C.（0，12）D.（0，4］解析：∵f（x）=log（x2－ax+3a）在［2，+∞）上是减函数，∴u=x2－ax+3a在

2、［2，+∞）上为增函数，且在［2，+∞）上恒大于0.∴∴－4＜a≤4.答案：B2.把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是A.cm2B.4cm2C.3cm2D.2cm2解析：设两段长分别为xcm，（12－x）cm，则S=（）2+（）2=（x2－12x+72）=［（x－6）2+36］≥2.答案：D3.（理）如果0＜a＜1，0＜x≤y＜1，且logaxlogay=1，那么xyA.无最大值也无最小值B.有最大值无最小值C.无最大值有最小值D.有最大值也有最小值解析：∵logax+logay≥2=2，∴logaxy≥2

3、.∴0＜xy≤a2.答案：B（文）已知a＞b＞c＞0，若P=，Q=，则A.P≥QB.P≤QC.P＞QD.P＜Q解析：特殊值检验.a=3，b=2，c=1.P=，Q=1，P＜Q.答案：D4.已知实数x、y满足=x－y，则x的取值范围是_______.解析：由=x－y，得y2－xy+x=0.∵y∈R，∴Δ=x2－4x≥0.∴0≤x≤4.∵x=0时y=0不符合题意，∴0＜x≤4.答案：0＜x≤45.已知不等式组的解集是不等式2x2－9x+a＜0的解集的子集，则实数a的取值范围是____________.解析：由得2＜x＜3.则a≤9.答案：（－∞，9］●典例剖析【例1

4、】函数y=的最大值为4，最小值为－1，求常数a、b的值.剖析：由于函数是分式函数，且定义域为R，故可用判别式法求最值.解：由y=去分母整理得yx2－2ax+y－b=0.①对于①，有实根的条件是Δ≥0，即（－2a）2－4y（y－b）≥0.∴y2－by－a2≤0.又－1≤y≤4，∴y2－by－a2=0的两根为－1和4.∴解得或评述：这是关于函数最大值、最小值的逆向题.深化拓展已知x、y∈R+且+=1，求x+y的最小值.本题不难求解（读者不妨求解）.由本题的启发，你能解下列问题吗？已知a、b是正常数，a+b=10，又x、y∈R+，且+=1，x+y的最小值为18.求a

5、、b的值.略解：x+y=（x+y）（）=10++≥10+2=18.当且仅当时取等号.由解得∴当x=6，y=12时，x+y的最小值为18.同上题，x+y=（x+y）（+）=a+b+≥a+b+2.由得或【例2】已知a＞0，求函数y=的最小值.解：y=+，当0＜a≤1时，y=+≥2，当且仅当x=±时取等号，ymin=2.当a＞1时，令t=（t≥）.y=f（t）=t+.（t）=1－＞0.∴f（t）在［，+∞）上为增函数.∴y≥f（）=，等号当t=即x=0时成立，ymin=.综上，0＜a≤1时，ymin=2；a＞1时，ymin=.【例3】已知函数f（x）=ax2+bx+

6、c（a＞0且bc≠0）.（1）若

7、f（0）

8、=

9、f（1）

10、=

11、f（－1）

12、=1，试求f（x）的解析式；（2）令g（x）=2ax+b，若g（1）=0，又f（x）的图象在x轴上截得的弦的长度为l，且0＜l≤2，试确定c－b的符号.解：（1）由已知

13、f（1）

14、=

15、f（－1）

16、，有

17、a+b+c

18、=

19、a－b+c

20、，（a+b+c）2=（a－b+c）2，可得4b（a+c）=0.∵bc≠0，∴b≠0.∴a+c=0.又由a＞0有c＜0.∵

21、c

22、=1，于是c=－1，则a=1，

23、b

24、=1.∴f（x）=x2±x－1.（2）g（x）=2ax+b，由g（1）=0有2a+b=0，b＜0.设

25、方程f（x）=0的两根为x1、x2.∴x1+x2=－=2，x1x2=.则

26、x1－x2

27、==.由已知0＜

28、x1－x2

29、≤2，∴0≤＜1.又∵a＞0，bc≠0，∴c＞0.∴c－b＞0.●闯关训练夯实基础1.已知方程sin2x－4sinx+1－a=0有解，则实数a的取值范围是A.［－3，6］B.［－2，6］C.［－3，2］D.［－2，2］解析：∵a=（sinx－2）2－3，

30、sinx

31、≤1，∴－2≤a≤6.答案：B2.当x∈［－1，2］时，不等式a≥x2－2x－1恒成立，则实数a的取值范围是A.a≥2B.a≥1C.a≥0D.a≥－2解析：当x∈［－1，2］时，x2－

32、2x－1=（x－1）2－2∈［－2，2