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《2016届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结):双曲线》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.2.了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用.3.理解数形结合的思想.1.双曲线的定义、几何性质和标准方程是高考常考内容,三种题型均有可能,高考对双曲线的要求比椭圆要低,难度为中低档,如2012年大纲全国T8,新课标全国T8等.2.直线与双曲线也是高考的重点考查内容之一,多以解答题形式考查,题目难度较大.[归纳·知识整合]1.双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内;(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值;(
2、3)这一定值一定要小于两定点的距离.[探究] 1.与两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗?提示:只有当2a<
3、F1F2
4、且2a≠0时,轨迹才是双曲线;若2a=
5、F1F2
6、,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若2a>
7、F1F2
8、,则轨迹不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质图形标准方程-=1(a>0,b>0)-=1(a>0,b>0)性质范围x≥a或x≤-a,y∈Ry≤-a或y≥a,x∈R对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点顶点坐标:A1(-a,0),A2(a,0)顶点坐标:A1(0,-a),A2(0,a)渐近线
9、y=±xy=±x离心率e=,e∈(1,+∞)a,b,c的关系c2=a2+b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长
10、A1A2
11、=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长
12、B1B2
13、=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长.[探究] 2.双曲线的离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样的关系?提示:离心率越大,双曲线的“开口”越大.3.等轴双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其标准方程为x2-y2=λ(λ≠0),离心率e=,渐近线方程为y=±x.[自测·牛刀小试]1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是( )A.2 B.2C.4D.4解
14、析:选C 由题意知,a=2,故长轴长为2a=4.2.双曲线方程:+=1,那么k的范围是( )A.k>5B.25解析:选D 由题意知,(
15、k
16、-2)(5-k)<0,解得-25.3.若双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则一条渐近线的方程为( )A.y=x+1B.y=3xC.y=-3x+1D.y=x解析:选D 由题意知双曲线的渐近线方程为y=±x=±x=±x,故渐近线方程为y=±x.4.设P是双曲线-=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左,右焦点,若
17、PF1
18、=3,则
19、P
20、F2
21、=( )A.1或5B.6C.7D.9解析:选C 由渐近线方程3x-2y=0,知=.又b2=9,所以a=2,从而
22、PF2
23、=7.5.已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线方程为________.解析:由已知可得c=4,a=2,所以b2=12,故双曲线的方程为-=1.答案:-=1双曲线的定义、标准方程[例1] (1)(2012·大纲全国卷)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左,右焦点,点P在C上,
24、PF1
25、=2
26、PF2
27、,则cos∠F1PF2=( )A. B.C.D.(2)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程
28、是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1[自主解答] (1)∵由双曲线的定义有
29、PF1
30、-
31、PF2
32、=
33、PF2
34、=2a=2,∴
35、PF1
36、=2
37、PF2
38、=4,cos∠F1PF2==.(2)∵抛物线y2=24x的准线方程为x=-6,则在双曲线中有a2+b2=(-6)2=36.①又∵双曲线-=1的一条渐近线为方程y=x,∴=.②联立①②解得所以双曲线的方程为-=1.[答案] (1)C (2)B———————————————————双曲线定义运用中的两个注意点(1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时,通常考虑
39、利用双曲线的定义;(2)在运用双曲线的定义解题时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清楚指整条双曲线还是双曲线的一支.1.已知△ABP的顶点A,B分别为双曲线-=1的左,右焦点,顶点P在双曲线上,则的值等于( )A.B.C.D.解析:选A 在△ABP中,由正弦定理知====.2.设F1,F2是双曲线-y2=1的两个焦点,P在双曲线上,当△F1PF2的面积为2时,1·2的值为( )A.2B.3C.4D.6解析:选B 设点P(x0,y0),依题意得,
40、F1F2
41、=2=4,S△PF1F2