义务教育2016届高三数学一轮复习（知识点归纳与总结）：双曲线

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1、[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．2.了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用．3.理解数形结合的思想.1.双曲线的定义、几何性质和标准方程是高考常考内容，三种题型均有可能，高考对双曲线的要求比椭圆要低，难度为中低档，如2012年大纲全国T8，新课标全国T8等．2.直线与双曲线也是高考的重点考查内容之一，多以解答题形式考查，题目难度较大.[归纳·知识整合]1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨

2、迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．[探究]　1.与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？提示：只有当2a<

3、F1F2

4、且2a≠0时，轨迹才是双曲线；若2a＝

5、F1F2

6、，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>

7、F1F2

8、，则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质图形标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对

9、称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长

10、A1A2

11、＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长

12、B1B2

13、＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长.[探究]　2.双曲线的离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样的关系？提示：离心率越大，双曲线的“开口”越大．3．等轴双曲

14、线实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x.[自测·牛刀小试]1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)A．2　　　　　　　　　　　B．2C．4D．4解析：选C　由题意知，a＝2，故长轴长为2a＝4.2．双曲线方程：＋＝1，那么k的范围是(　　)A．k>5B．25解析：选D　由题意知，(

15、k

16、－2)(5－k)<0，解得－25.3．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则

17、一条渐近线的方程为(　　)A．y＝x＋1B．y＝3xC．y＝－3x＋1D．y＝x解析：选D　由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x，故渐近线方程为y＝±x.4．设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，若

18、PF1

19、＝3，则

20、PF2

21、＝(　　)A．1或5B．6C．7D．9解析：选C　由渐近线方程3x－2y＝0，知＝.又b2＝9，所以a＝2，从而

22、PF2

23、＝7.5．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为___

24、_____．解析：由已知可得c＝4，a＝2，所以b2＝12，故双曲线的方程为－＝1.答案：－＝1双曲线的定义、标准方程[例1]　(1)(2012·大纲全国卷)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，

25、PF1

26、＝2

27、PF2

28、，则cos∠F1PF2＝(　　)A.　　　　　　　　　B.C.D.(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1[自主解答]　(1)∵由

29、双曲线的定义有

30、PF1

31、－

32、PF2

33、＝

34、PF2

35、＝2a＝2，∴

36、PF1

37、＝2

38、PF2

39、＝4，cos∠F1PF2＝＝.(2)∵抛物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，则在双曲线中有a2＋b2＝(－6)2＝36.①又∵双曲线－＝1的一条渐近线为方程y＝x，∴＝.②联立①②解得所以双曲线的方程为－＝1.[答案]　(1)C　(2)B———————————————————双曲线定义运用中的两个注意点(1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用双曲线的定义；(2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中

40、的条件“差的绝对值”，弄清楚指整条双曲线还是双曲线的一支．1．已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线－＝1的左，右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于(　　)A.B.C.D.解析：选A　在△ABP中，由正弦定理知＝＝＝＝.2．设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，1·2的值为(　　)A．2B．3C．4D．6解析：选B　设点P(x0，y0)，依题意得，

41、F1F2

42、＝2＝4，S△PF1F2